Questão 4. Resolva os seguintes problemas de valor inicial e determine o comportamento da solução quando t infty :
ly prime prime+y^prime-2 y=0 y(0)=1 ; y prime(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + y' - 2y = 0
sujeita a
y(0) = 1, y'(0) = 1
O conteúdo aplicado aqui é a resolução de EDOs lineares pela equação característica.

Passo 2

Formamos a equação característica associada substituindo y=e^rt, o que leva a
r^2 + r - 2 = 0
Resolvendo, obtemos as raízes
r = 1 e r = -2

Passo 3

Como as raízes são distintas, a solução geral da EDO é
y(t) = C1 e^t + C2 e^-2t

Passo 4

Usamos as condições iniciais para determinar
Depois, calculamos
logo em :
Resolvendo o sistema
encontra-se .

Passo 5

Substituindo C1 e C2, a solução particular fica
y(t) = e^t
Para analisarmos o comportamento quando ttoinfty, basta notar que
e^tto +infty

Resposta

A solução do problema é
y(t) = e^t,
e ela cresce exponencialmente, tendendo a +infty quando t to infty.

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