Questão 4. Resolva os seguintes problemas de valor inicial e determine o comportamento da solução quando
:
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
sujeita a
O conteúdo aplicado aqui é a resolução de EDOs lineares pela equação característica.
Passo 2
Formamos a equação característica associada substituindo
, o que leva a
Resolvendo, obtemos as raízes
Passo 3
Como as raízes são distintas, a solução geral da EDO é
Passo 4
Usamos as condições iniciais para determinar
Depois, calculamos
logo em
:
Resolvendo o sistema
encontra-se .
Passo 5
Substituindo
e
, a solução particular fica
Para analisarmos o comportamento quando
, basta notar que
Resposta
A solução do problema é
e ela cresce exponencialmente, tendendo a
quando
.