Determine as equações paramétricas da reta tangente a curva de intersecção do paraboloide z= 4 x^2+y^2 e o cilindro parabólico y=x^2 no ponto (1,1,5).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício onde precisamos encontrar as equações paramétricas da reta tangente a uma curva de intersecção. Essa curva é formada pela interseção de duas superfícies: um paraboloide dado por z = 4x^2 + y^2 e um cilindro parabólico dado por y = x^2 . O ponto onde queremos encontrar a reta tangente é (1, 1, 5) .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente sobre gradientes e vetores tangentes. Vou te guiar passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor as superfícies que estão se cruzando:
  1. Paraboloide: z = 4x^2 + y^2
  2. Cilindro Parabólico: y = x^2
A curva de intersecção dessas duas superfícies é o conjunto de pontos que satisfazem ambas as equações simultaneamente. Nosso objetivo é encontrar a reta tangente a essa curva no ponto específico (1, 1, 5) .

Passo 3

Para encontrar a reta tangente, precisamos determinar a direção dessa reta. Isso é feito encontrando o vetor tangente à curva no ponto dado. Uma maneira eficaz de encontrar esse vetor é utilizando os gradientes das superfícies no ponto de intersecção.
O gradiente de uma função multivariável dá a direção de maior aumento da função e é perpendicular à superfície naquele ponto. Para as duas superfícies, vamos calcular seus gradientes.

Passo 4

Vamos calcular o gradiente de cada superfície:
  1. Paraboloide z = 4x^2 + y^2 :
    Primeiro, reescrevemos a equação como F(x, y, z) = z - 4x^2 - y^2 = 0 .
    O gradiente de F é:
nabla F = ( partial Fpartial x, partial Fpartial y, partial Fpartial z ) = (-8x, -2y, 1)
  1. Cilindro Parabólico y = x^2 :
    Reescrevemos como G(x, y, z) = y - x^2 = 0 .
    O gradiente de G é:
nabla G = ( partial Gpartial x, partial Gpartial y, partial Gpartial z ) = (-2x, 1, 0)
Agora, vamos avaliar esses gradientes no ponto (1, 1, 5) :
  • nabla F(1, 1, 5) = (-8 cdot 1, -2 cdot 1, 1) = (-8, -2, 1)
  • nabla G(1, 1, 5) = (-2 cdot 1, 1, 0) = (-2, 1, 0)

Passo 5

O próximo passo é encontrar a direção da reta tangente, que é dada pelo produto vetorial dos gradientes das duas superfícies no ponto de intersecção.
Calculando o produto vetorial nabla F times nabla G :
nabla F times nabla G &= i & j & k -8 & -2 & 1 -2 & 1 & 0 &= i cdot [(-2)(0) - (1)(1)] - j cdot [(-8)(0) - (1)(-2)] + k cdot [(-8)(1) - (-2)(-2)] &= i cdot (0 - 1) - j cdot (0 - (-2)) + k cdot (-8 - 4) &= -i - 2j - 12k &= (-1, -2, -12)
Esse vetor (-1, -2, -12) é a direção da reta tangente à curva de intersecção no ponto (1, 1, 5) .

Passo 6

Agora que temos o vetor de direção da reta tangente, podemos escrever as equações paramétricas da reta. Essas equações descrevem cada coordenada [(x, y, z)) em função de um parâmetro .
A forma geral das equações paramétricas de uma reta que passa pelo ponto com vetor de direção é:
Substituindo pelos valores que temos:
  • Ponto:
As equações paramétricas ficam:

Resposta

As equações paramétricas da reta tangente são:
x = 1 - t y = 1 - 2t z = 5 - 12t

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