Determine as equações paramétricas da reta tangente a curva de intersecção do paraboloide e o cilindro parabólico no ponto .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício onde precisamos encontrar as equações paramétricas da reta tangente a uma curva de intersecção. Essa curva é formada pela interseção de duas superfícies: um paraboloide dado por e um cilindro parabólico dado por . O ponto onde queremos encontrar a reta tangente é .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente sobre gradientes e vetores tangentes. Vou te guiar passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor as superfícies que estão se cruzando:
Paraboloide:
Cilindro Parabólico:
A curva de intersecção dessas duas superfícies é o conjunto de pontos que satisfazem ambas as equações simultaneamente. Nosso objetivo é encontrar a reta tangente a essa curva no ponto específico .
Passo 3
Para encontrar a reta tangente, precisamos determinar a direção dessa reta. Isso é feito encontrando o vetor tangente à curva no ponto dado. Uma maneira eficaz de encontrar esse vetor é utilizando os gradientes das superfícies no ponto de intersecção.
O gradiente de uma função multivariável dá a direção de maior aumento da função e é perpendicular à superfície naquele ponto. Para as duas superfícies, vamos calcular seus gradientes.
Passo 4
Vamos calcular o gradiente de cada superfície:
Paraboloide :
Primeiro, reescrevemos a equação como .
O gradiente de é:
Cilindro Parabólico :
Reescrevemos como .
O gradiente de é:
Agora, vamos avaliar esses gradientes no ponto :
Passo 5
O próximo passo é encontrar a direção da reta tangente, que é dada pelo produto vetorial dos gradientes das duas superfícies no ponto de intersecção.
Calculando o produto vetorial :
Esse vetor (-1, -2, -12) é a direção da reta tangente à curva de intersecção no ponto (1, 1, 5) .
Passo 6
Agora que temos o vetor de direção da reta tangente, podemos escrever as equações paramétricas da reta. Essas equações descrevem cada coordenada [(x, y, z)) em função de um parâmetro .
A forma geral das equações paramétricas de uma reta que passa pelo ponto com vetor de direção é: