Resolva cada inequação;
\frac{x^{3}-1}{x^{2}+x+1} \geq 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
\frac{x^{3}-1}{x^{2}+x+1} \geq 0.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A expressão é uma razão entre polinómios: numerador \,x^{3}-1, e denominador \,x^{2}+x+1.
  • Precisamos encontrar os valores reais de x que tornam essa razão maior ou igual a zero.
  • Devemos considerar o domínio da expressão (valores de x onde o denominador não se anula).

Passo 2

Vamos fatorar o numerador \,x^{3}-1. Para isso uso a identidade clássica da diferença de cubos:
a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2}).
Explicando essa fórmula de maneira simples: ela vem de dividir a^{3}-b^{3} por a-b (ou multiplicando o produto e reunindo termos). Aqui podemos aplicar com a=x e b=1.

Passo 3

Aplicando a identidade com a=x e b=1 obtemos a fatoração do numerador:
x^{3}-1=(x-1)(x^{2}+x+1).

Passo 4

Substituindo a fatoração na expressão original temos
\frac{x^{3}-1}{x^{2}+x+1}=\frac{(x-1)(x^{2}+x+1)}{x^{2}+x+1}.
Agora podemos simplificar cancelando o fator comum x^{2}+x+1, desde que esse fator não seja zero (porque não podemos dividir por zero). Precisamos então verificar se x^{2}+x+1 alguma vez se anula para x real.

Passo 5

Determinamos as raízes de x^{2}+x+1 pelo discriminante:
\Delta = b^{2}-4ac = 1^{2}-4\cdot1\cdot1 = 1-4 = -3.
Como \Delta<0, o polinómio x^{2}+x+1 não tem raízes reais, ou seja, nunca se anula para x\in\mathbb{R}. Portanto a simplificação é válida para todo x real.

Passo 6

Concluímos então que, para todo x\in\mathbb{R},
\frac{x^{3}-1}{x^{2}+x+1}=x-1.
Isto simplifica muito a inequação original: basta resolver
x-1 \geq 0.

Passo 7

Resolvendo a inequação linear \,x-1\ge 0: somamos 1 aos dois lados (passo elementar de desigualdades preservando o sinal) e obtemos
x \ge 1.

Passo 8

Interpretação final: todos os valores reais x maiores ou iguais a 1 satisfazem a inequação. Como o denominador nunca zera, não precisamos excluir pontos do intervalo.

Passo 9

Checagem rápida com exemplos:
  • Para x=2: \frac{2^{3}-1}{2^{2}+2+1}=\frac{7}{7}=1\ge0. OK.
  • Para x=0: \frac{0^{3}-1}{0^{2}+0+1}=-1<0. OK, 0 não pertence à solução.
    Esses testes confirmam a solução x\ge1.

Resposta

[1,\infty)

Exercícios relacionados