Resolva cada inequação;
Passo 1
O enunciado pede para resolver a inequação
Informações dadas e observações imediatas:
- A expressão é uma razão entre polinómios: numerador
, e denominador . - Precisamos encontrar os valores reais de
que tornam essa razão maior ou igual a zero. - Devemos considerar o domínio da expressão (valores de
onde o denominador não se anula).
Passo 2
Vamos fatorar o numerador
. Para isso uso a identidade clássica da diferença de cubos:
Explicando essa fórmula de maneira simples: ela vem de dividir
por
(ou multiplicando o produto e reunindo termos). Aqui podemos aplicar com
e
.
Passo 3
Aplicando a identidade com
e
obtemos a fatoração do numerador:
Passo 4
Substituindo a fatoração na expressão original temos
Agora podemos simplificar cancelando o fator comum
, desde que esse fator não seja zero (porque não podemos dividir por zero). Precisamos então verificar se
alguma vez se anula para
real.
Passo 5
Determinamos as raízes de
pelo discriminante:
Como
, o polinómio
não tem raízes reais, ou seja, nunca se anula para
. Portanto a simplificação é válida para todo
real.
Passo 6
Concluímos então que, para todo
,
Isto simplifica muito a inequação original: basta resolver
Passo 7
Resolvendo a inequação linear
: somamos
aos dois lados (passo elementar de desigualdades preservando o sinal) e obtemos
Passo 8
Interpretação final: todos os valores reais
maiores ou iguais a
satisfazem a inequação. Como o denominador nunca zera, não precisamos excluir pontos do intervalo.
Passo 9
Checagem rápida com exemplos:
- Para
: . OK. - Para
: . OK, não pertence à solução.
Esses testes confirmam a solução.