Sejam
conjuntos não-vazios limitados de números reais tais que
. Prove que:
Passo 1
O enunciado diz que
e
são conjuntos não-vazios, limitados e que
. Pede para provar a cadeia de desigualdades
Informações dadas:
-
é não-vazio (existe pelo menos um elemento ). -
é não-vazio. -
(todo elemento de também está em ). - Ambos são limitados (portanto têm supremo e ínfimo finitos reais).
O que se quer provar, explicitamente:
-
. -
. -
.
Passo 2
Definições e propriedades fundamentais (explicação didática).
- Um número
é uma cota inferior de um conjunto se, para todo , vale . - O ínfimo
é o maior entre todas as cotas inferiores de . Isso significa duas coisas: -
é uma cota inferior de . - Se
é qualquer cota inferior de , então .
-
- Um número
é uma cota superior de se, para todo , vale . - O supremo
é o menor entre todas as cotas superiores de . Ou seja: -
é uma cota superior de . - Se
é qualquer cota superior de , então .
-
Observação útil (bastante usada): se
, então
- toda cota inferior de
é também cota inferior de (porque ser menor que todos os elementos de implica ser menor que todos os elementos de ); - toda cota superior de
é também cota superior de .
Passo 3
Prova de
.
Raciocínio passo a passo:
- Tome qualquer cota inferior
de . Por definição, para todo vale . - Como
, todo também pertence a . Então para todo vale . - Assim,
é também uma cota inferior de . - Portanto o conjunto das cotas inferiores de
está contido no conjunto das cotas inferiores de . - Como
é o maior elemento do conjunto de cotas inferiores de e as cotas inferiores de estão entre as cotas inferiores de , o maior das cotas inferiores de não pode ser maior que o maior das cotas inferiores de . - Em termos matemáticos:
.
Breve exemplo para ficar mais concreto: seja
e
. As cotas inferiores de
são números
e as cotas inferiores de
são números
. O maior cota inferior de
é
e o de
é
; de fato
.
Passo 4
Prova de
.
Raciocínio passo a passo (duplo análogo ao passo anterior, agora com cotas superiores):
- Tome qualquer cota superior
de . Por definição, para todo vale . - Como
, todo também satisfaz . - Logo,
é uma cota superior de . - Assim, o conjunto das cotas superiores de
está contido no conjunto das cotas superiores de . -
é o menor elemento do conjunto das cotas superiores de , e é o menor do conjunto das cotas superiores de . Como o conjunto de cotas superiores de é um subconjunto do de , o menor elemento do conjunto maior ( ) não pode ser maior que o menor elemento do subconjunto ( ). - Em termos diretos:
.
Exemplo numérico (continuação do anterior): para
,
, as cotas superiores de
são números
e as de
são números
. O menor cota superior de
é
e o de
é
; de fato
.
Passo 5
Prova de
.
Raciocínio passo a passo:
- Como
é não-vazio, existe algum elemento . - Pelo fato de
ser cota inferior de , vale . - Pelo fato de
ser cota superior de , vale . - Combinando as duas desigualdades obtém-se
. - Assim
.
Explicação em palavras mais simples: todo ínfimo é menor ou igual a qualquer elemento do conjunto, e todo supremo é maior ou igual a qualquer elemento do conjunto; como existe pelo menos um elemento, o ínfimo fica à esquerda do supremo na reta real.
Passo 6
Juntando os resultados obtidos:
- Do Passo 3:
. - Do Passo 5:
. - Do Passo 4:
.
Portanto, concatenando as desigualdades, obtemos