Sejam A, B conjuntos não-vazios limitados de números reais tais que A \subseteq B. Prove que:
\inf B \leq \inf A \leq \sup A \leq \sup B

Passo 1

O enunciado diz que A e B são conjuntos não-vazios, limitados e que A \subseteq B. Pede para provar a cadeia de desigualdades
\inf B \leq \inf A \leq \sup A \leq \sup B.
Informações dadas:
  • A é não-vazio (existe pelo menos um elemento a\in A).
  • B é não-vazio.
  • A \subseteq B (todo elemento de A também está em B).
  • Ambos são limitados (portanto têm supremo e ínfimo finitos reais).
O que se quer provar, explicitamente:
  1. \inf B \le \inf A.
  2. \inf A \le \sup A.
  3. \sup A \le \sup B.

Passo 2

Definições e propriedades fundamentais (explicação didática).
  • Um número m é uma cota inferior de um conjunto S\subseteq\mathbb{R} se, para todo s\in S, vale m \le s.
  • O ínfimo \inf S é o maior entre todas as cotas inferiores de S. Isso significa duas coisas:
    1. \inf S é uma cota inferior de S.
    2. Se m é qualquer cota inferior de S, então m \le \inf S.
  • Um número M é uma cota superior de S se, para todo s\in S, vale s \le M.
  • O supremo \sup S é o menor entre todas as cotas superiores de S. Ou seja:
    1. \sup S é uma cota superior de S.
    2. Se M é qualquer cota superior de S, então \sup S \le M.
Observação útil (bastante usada): se A \subseteq B, então
  • toda cota inferior de B é também cota inferior de A (porque ser menor que todos os elementos de B implica ser menor que todos os elementos de A);
  • toda cota superior de B é também cota superior de A.

Passo 3

Prova de \inf B \le \inf A.
Raciocínio passo a passo:
  • Tome qualquer cota inferior m de B. Por definição, para todo b\in B vale m \le b.
  • Como A \subseteq B, todo a\in A também pertence a B. Então para todo a\in A vale m \le a.
  • Assim, m é também uma cota inferior de A.
  • Portanto o conjunto das cotas inferiores de B está contido no conjunto das cotas inferiores de A.
  • Como \inf B é o maior elemento do conjunto de cotas inferiores de B e as cotas inferiores de B estão entre as cotas inferiores de A, o maior das cotas inferiores de B não pode ser maior que o maior das cotas inferiores de A.
  • Em termos matemáticos: \inf B \le \inf A.
Breve exemplo para ficar mais concreto: seja A=\{1,2\} e B=\{0,1,2,3\}. As cotas inferiores de B são números \le 0 e as cotas inferiores de A são números \le 1. O maior cota inferior de B é 0 e o de A é 1; de fato 0 \le 1.

Passo 4

Prova de \sup A \le \sup B.
Raciocínio passo a passo (duplo análogo ao passo anterior, agora com cotas superiores):
  • Tome qualquer cota superior M de B. Por definição, para todo b\in B vale b \le M.
  • Como A \subseteq B, todo a\in A também satisfaz a \le M.
  • Logo, M é uma cota superior de A.
  • Assim, o conjunto das cotas superiores de B está contido no conjunto das cotas superiores de A.
  • \sup A é o menor elemento do conjunto das cotas superiores de A, e \sup B é o menor do conjunto das cotas superiores de B. Como o conjunto de cotas superiores de B é um subconjunto do de A, o menor elemento do conjunto maior ( \sup A) não pode ser maior que o menor elemento do subconjunto ( \sup B).
  • Em termos diretos: \sup A \le \sup B.
Exemplo numérico (continuação do anterior): para A=\{1,2\}, B=\{0,1,2,3\}, as cotas superiores de B são números \ge 3 e as de A são números \ge 2. O menor cota superior de A é 2 e o de B é 3; de fato 2 \le 3.

Passo 5

Prova de \inf A \le \sup A.
Raciocínio passo a passo:
  • Como A é não-vazio, existe algum elemento a_0\in A.
  • Pelo fato de \inf A ser cota inferior de A, vale \inf A \le a_0.
  • Pelo fato de \sup A ser cota superior de A, vale a_0 \le \sup A.
  • Combinando as duas desigualdades obtém-se \inf A \le a_0 \le \sup A.
  • Assim \inf A \le \sup A.
Explicação em palavras mais simples: todo ínfimo é menor ou igual a qualquer elemento do conjunto, e todo supremo é maior ou igual a qualquer elemento do conjunto; como existe pelo menos um elemento, o ínfimo fica à esquerda do supremo na reta real.

Passo 6

Juntando os resultados obtidos:
  • Do Passo 3: \inf B \le \inf A.
  • Do Passo 5: \inf A \le \sup A.
  • Do Passo 4: \sup A \le \sup B.
Portanto, concatenando as desigualdades, obtemos
\inf B \le \inf A \le \sup A \le \sup B.

Resposta

\inf B \leq \inf A \leq \sup A \leq \sup B

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