Dados
mostre que
. Dê um exemplo em que
A cap B neq
barA cap barB .
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para quaisquer
A,BsubsetR , vale
onde
overline X denota o fecho de
X . Vamos usar a definição de fecho em
R :
,xinoverline X se e só se todo intervalo aberto centrado em
x encontra
X .
Passo 2
Seja
xinAcap B . Então, para todo
varepsilon>0 ,
Isso implica que esse mesmo intervalo tem algum ponto em
A e também algum ponto em
B . Logo,
Pela definição de fecho, isso significa
xinoverline A e
xinoverline B . Portanto
e como
x era arbitrário em
Acap B , concluímos
Passo 3
Para ver que em geral a igualdade pode falhar, tome
Então
Acap B=varnothing , logo
Por outro lado
Isso mostra que
Acap B=varnothingsubsetneqq1=overline Acapoverline B .
Resposta
Exemplo de desigualdade estrita: