Dados A, B subset R mostre que A cap B subset barA cap barB. Dê um exemplo em que A cap B neq barA cap barB.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para quaisquer A,BsubsetR, vale
Acap B,subset,overline A;cap;overline B
onde overline X denota o fecho de X. Vamos usar a definição de fecho em R:
,xinoverline X se e só se todo intervalo aberto centrado em x encontra X.

Passo 2

Seja xinAcap B. Então, para todo varepsilon>0,
(x-varepsilon,;x+varepsilon),cap,(Acap B)neqvarnothing
Isso implica que esse mesmo intervalo tem algum ponto em A e também algum ponto em B. Logo,
forallvarepsilon>0:;(x-varepsilon,;x+varepsilon)cap Aneqvarnothing e (x-varepsilon,;x+varepsilon)cap Bneqvarnothing
Pela definição de fecho, isso significa xinoverline A e xinoverline B. Portanto
xinoverline A;cap;overline B,
e como x era arbitrário em Acap B, concluímos
Acap B,subset,overline A;cap;overline B

Passo 3

Para ver que em geral a igualdade pode falhar, tome
A=(0,1), B=(1,2)
Então Acap B=varnothing, logo
Acap B=overlinevarnothing=varnothing
Por outro lado
overline A=[0,1], overline B=[1,2], overline Acapoverline B=1neqvarnothing
Isso mostra que
Acap B=varnothingsubsetneqq1=overline Acapoverline B.

Resposta

Acap Bsubsetoverline Acapoverline B.
Exemplo de desigualdade estrita:
A=(0,1), B=(1,2)implies Acap B=varnothingsubsetneqq1=overline Acapoverline B

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