Resolva pelo método matricial (dos autovalores e autovetores). Descreva o comportamento das soluções quando
. Verifique se a solução
é ponto de equilíbrio estável ou instável, verificando se é sela, nó, foco (espiral) ou centro. Faça um esboço da família das soluções:
Passo 1
O enunciado apresenta um sistema linear de dimensão
e pede que a gente use o método matricial (autovalores e autovetores) para obter a solução geral, analizar o comportamento quando e esboçar a família de soluções.
Passo 2
Escrevemos o sistema em forma matricial
, onde
A equação característica vem de
Passo 3
Resolvendo
Passo 4
Para
resolvemos
. Da primeira linha:
Escolhendo
, um autovetor é
Passo 5
A solução geral real pode ser escrita usando a parte real e imaginária de
. Chamando constantes
,
Passo 6
Como
, temos crescimento exponencial:
Passo 7
Por termos parte real positiva e parte imaginária não nula, o ponto
é um foco (espiral) instável.
Passo 8
No plano
as trajetórias giram em torno da origem no sentido anti-horário (verifica-se avaliando a direção em
) e se afastam exponencialmente, gerando espirais divergentes.
Resposta
A solução geral é
Como
,
em forma de espiral divergente. O equilíbrio em
é um foco instável com trajetórias girando anti-horário e se afastando da origem.