Resolva pelo método matricial (dos autovalores e autovetores). Descreva o comportamento das soluções quando t longrightarrow+infty. Verifique se a solução x(t)=(x1(t), x2(t))=(0,0) é ponto de equilíbrio estável ou instável, verificando se é sela, nó, foco (espiral) ou centro. Faça um esboço da família das soluções:
l x1^prime=3 x1-2 x2 x2^prime=4 x1-x2

Passo 1

O enunciado apresenta um sistema linear de dimensão
e pede que a gente use o método matricial (autovalores e autovetores) para obter a solução geral, analizar o comportamento quando e esboçar a família de soluções.

Passo 2

Escrevemos o sistema em forma matricial , onde
A equação característica vem de
]

Passo 3

Resolvendo
lambda^2-2lambda+5=0 Longrightarrow lambda=1pm2,i

Passo 4

Para lambda=1+2i resolvemos (A-lambda I)v=0. Da primeira linha:
(3-(1+2i))v1-2v2=0 ;Longrightarrow;(2-2i)v1=2v2 ;Longrightarrow;v2=(1-i)v1
Escolhendo v1=1, um autovetor é
v=11-i

Passo 5

A solução geral real pode ser escrita usando a parte real e imaginária de e^lambda tv. Chamando constantes C1,C2,
x(t) =e^tl[C1Rel(e^2i tvr)+C2Iml(e^2i tvr)r]

Passo 6

Como Re(lambda)=1>0, temos crescimento exponencial:
|x(t)|sim e^traizC1^2+C2^2;longrightarrow;+infty quando tto+infty

Passo 7

Por termos parte real positiva e parte imaginária não nula, o ponto x=(0,0) é um foco (espiral) instável.

Passo 8

No plano (x1,x2) as trajetórias giram em torno da origem no sentido anti-horário (verifica-se avaliando a direção em (1,0)) e se afastam exponencialmente, gerando espirais divergentes.

Resposta

A solução geral é
x(t) =e^tl[C1Re(e^2i t11-i) +C2Im(e^2i t11-i)r]
Como Re(lambda)=1>0, |x(t)|to+infty em forma de espiral divergente. O equilíbrio em (0,0) é um foco instável com trajetórias girando anti-horário e se afastando da origem.

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