Dados u=(1,3,2), v=(0,-1,0) e w=(-2,0,1), calcule:
lang<= u times v, w>elang<= u, v times w>;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem três vetores: u = (1, 3, 2) , v = (0, -1, 0) e w = (-2, 0, 1) . A missão aqui é calcular duas coisas:
  1. O produto escalar entre o produto vetorial de u e v com w , ou seja, lang<= u times v, w rang<= .
  2. O produto escalar entre u e o produto vetorial de v e w , ou seja, lang<= u, v times w rang<= .
Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular produto vetorial e produto escalar de vetores, além de lembrar algumas propriedades dessas operações.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto vetorial de u e v , que é u times v .
O produto vetorial de dois vetores a = (a1, a2, a3) e b = (b1, b2, b3) é dado por:
a times b = ( a2 b3 - a3 b2, a3 b1 - a1 b3, a1 b2 - a2 b1 )
Aplicando isso para u = (1, 3, 2) e v = (0, -1, 0) :
u times v = ( 3 times 0 - 2 times (-1), 2 times 0 - 1 times 0, 1 times (-1) - 3 times 0 )
u times v = (0 + 2, 0 - 0, -1 - 0) = (2, 0, -1)

Passo 3

Agora que temos u times v = (2, 0, -1) , vamos calcular o produto escalar entre esse vetor e w = (-2, 0, 1) , ou seja, lang<= u times v, w rang<= .
O produto escalar de dois vetores a = (a1, a2, a3) e b = (b1, b2, b3) é dado por:
lang<= a, b rang<= = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3
Aplicando isso para u times v = (2, 0, -1) e w = (-2, 0, 1) :
lang<= u times v, w rang<= = 2 times (-2) + 0 times 0 + (-1) times 1 = -4 + 0 -1 = -5

Passo 4

Agora vamos calcular o produto vetorial de v e w , que é v times w .
Usando a fórmula do produto vetorial:
v times w = ( (-1) times 1 - 0 times 0, 0 times (-2) - 0 times 1, 0 times 0 - (-1) times (-2) )
v times w = (-1 - 0, 0 - 0, 0 - 2) = (-1, 0, -2)

Passo 5

Agora que temos v times w = (-1, 0, -2) , vamos calcular o produto escalar entre u = (1, 3, 2) e esse vetor, ou seja, lang<= u, v times w rang<= .
Aplicando a fórmula do produto escalar:
lang<= u, v times w rang<= = 1 times (-1) + 3 times 0 + 2 times (-2) = -1 + 0 -4 = -5

Resposta

Ambos os produtos escalares são iguais a -5. Ou seja,
lang<= u times v, w rang<= = lang<= u, v times w rang<= = -5

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