I y^prime prime(t)=-k e(t)-mu e^prime(t)
sendo mu uma constante positiva. Determine o erro e(t) para o piloto automático com amortecimento fraco (ou seja, mu< 2 raizI k ) se o eixo de direção estiver inicialmente em repouso na direção zero e a direção desejada for dada por g(t)=a, em que a é uma constante.

Passo 1

O enunciado dá a equação de movimento
I,y''(t) = -k,e(t) - mu,e'(t)
com erro definido por e(t)=a - y(t) (pois a referência é g(t)=a), condição inicial y(0)=0, y'(0)=0 e amortecimento fraco mu<2raizI,k.
O conteúdo envolve solução de equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes na região subamortecida.

Passo 2

Expressamos tudo em função de e(t). Como e(t)=a - y(t) e a é constante, temos e''(t)=-y''(t) e e'(t)=-y'(t). Substituindo em
I,y''(t) = -k,e(t) - mu,e'(t)
vem
-I,e''(t) ;=;-k,e(t);-;mu,e'(t),
ou seja
I,e''(t) + mu,e'(t) + k,e(t) = 0

Passo 3

A equação característica é
I,r^2 + mu,r + k = 0
Como mu<2raizI,k, as raízes são complexas conjugadas
r = -mu2I pm i,omegad, omegad = raiz4I,k - mu^22I

Passo 4

Logo, a solução geral em regime subamortecido é
e(t) = e^-mu2Itl(C1cos(omegad t) + C2sin(omegad t)r)

Passo 5

Usamos as condições iniciais. Em t=0:
e(0) = a implies C1 = a,
e
e'(t) = -mu2Ie^-mu2Itl(C1cosomegad t + C2sinomegad tr) + e^-mu2Itl(-C1omegadsinomegad t + C2omegadcosomegad tr)
Em t=0, e'(0)=0
-mu2IC1 + omegad,C2 = 0 Longrightarrow C2 = mu2I,omegad,a

Passo 6

Substituindo C1 e C2 obtemos
e(t) = a,e^-mu2Itl(cos(omegad t) + mu2I,omegad,sin(omegad t)r),
com omegad = tfracraiz4I,k - mu^22I.

Resposta

e(t) = a,exp!l(-mu2Itr)l[cos!l(omegad tr) + mu2I,omegad,sin!l(omegad tr)r], omegad = raiz4I,k - mu^22I

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