;
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de terceira ordem com coeficientes constantes
sujeita às condições iniciais
O conteúdo envolve (1) solução geral da equação homogênea, (2) busca de uma solução particular, e (3) aplicação das condições iniciais.
Passo 2
Para a parte homogênea, escrevemos a equação característica
Testando
vemos que
, logo
é raiz. Fazendo a divisão por
obtém-se
cuja segunda parte dá as raízes
e
. Portanto a solução da homogênea é
Passo 3
Para encontrar uma solução particular
para o termo constante
, tentamos
. Nesse caso
e a equação vira
de onde
. Assim
Passo 4
A solução geral é
Calculamos também as derivadas:
Passo 5
Aplicando as condições em
Esse sistema é
Resolvendo, obtemos e
.