y^prime prime prime+4 y^prime prime+y^prime-6 y=-12;
y(0)=1, y^prime(0)=4, y^prime prime(0)=-2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de terceira ordem com coeficientes constantes
y''' + 4y'' + y' - 6y = -12
sujeita às condições iniciais
y(0)=1, y'(0)=4, y''(0)=-2
O conteúdo envolve (1) solução geral da equação homogênea, (2) busca de uma solução particular, e (3) aplicação das condições iniciais.

Passo 2

Para a parte homogênea, escrevemos a equação característica
r^3 + 4r^2 + r - 6 = 0
Testando r=1 vemos que 1+4+1-6=0, logo r=1 é raiz. Fazendo a divisão por (r-1) obtém-se
(r-1)(r^2+5r+6)=0,
cuja segunda parte dá as raízes r=-2 e r=-3. Portanto a solução da homogênea é
yh(x) = C1 e^x + C2 e^-2x + C3 e^-3x

Passo 3

Para encontrar uma solução particular yp para o termo constante -12, tentamos yp=A. Nesse caso yp'=yp''=yp'''=0 e a equação vira
-6A = -12,
de onde A=2. Assim
yp(x)=2

Passo 4

A solução geral é
y(x)=C1 e^x + C2 e^-2x + C3 e^-3x + 2
Calculamos também as derivadas:
y'(x)=C1 e^x -2C2 e^-2x -3C3 e^-3x,
y''(x)=C1 e^x +4C2 e^-2x +9C3 e^-3x

Passo 5

Aplicando as condições em
Esse sistema é
Resolvendo, obtemos e .

Resposta

boxedy(x)=e^x ;-;3e^-2x;+;e^-3x;+;2

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