Dados u=(1,3,2), v=(0,-1,0) e w=(-2,0,1), calcule:
o ângulo entre u e v.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular o ângulo entre os vetores u = (1, 3, 2) e v = (0, -1, 0) . Estamos trabalhando com álgebra vetorial, especificamente utilizando o produto escalar para encontrar o ângulo entre dois vetores.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que o ângulo theta entre dois vetores pode ser encontrado usando a fórmula do produto escalar:
u cdot v = |u| cdot |v| cdot cos(theta)
Aqui, u cdot v é o produto escalar dos vetores, |u| e |v| são as magnitudes (comprimentos) dos vetores, e theta é o ângulo entre eles.

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar u cdot v . O produto escalar de dois vetores é dado pela soma dos produtos de suas componentes correspondentes:
u cdot v = (1 times 0) + (3 times -1) + (2 times 0) = 0 - 3 + 0 = -3

Passo 4

Agora, vamos calcular as magnitudes dos vetores u e v . A magnitude de um vetor a = (ax, ay, az) é dada por:
|a| = raizax^2 + ay^2 + az^2
Para u :
|u| = raiz1^2 + 3^2 + 2^2 = raiz1 + 9 + 4 = raiz14 approx 3,7417
Para v :
|v| = raiz0^2 + (-1)^2 + 0^2 = raiz0 + 1 + 0 = raiz1 = 1

Passo 5

Com o produto escalar e as magnitudes dos vetores calculadas, podemos isolar cos(theta) na fórmula:
cos(theta) = u cdot v|u| cdot |v| = -33,7417 times 1 approx -33,7417 approx -0,8020

Passo 6

Para encontrar o ângulo theta , tiramos o arco cosseno (função inversa do cosseno) de -0,8020:
theta = arccos(-0,8020) approx 143,1^circ

Resposta

O ângulo entre os vetores u e v é aproximadamente 143,1^circ .

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