Dados campo u, v: R^3 R^3 de classe C^infty, mostre que
De, onde De é o operador laplaciano: f: R^n R, sendo C^2 uma função de classe .

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, para um campo vetorial vec u = (u1,u2,u3) suave, vale a identidade rot(rot,vec u)=nabla(div,vec u)-(De. Aqui o conteúdo envolvido é cálculo vetorial: rotacional, divergência e o operador laplaciano. Vamos usar notação de índices para organizar bem a prova.

Passo 2

Em notação de índices com o símbolo de Levy-Civita varepsilonijk, temos a definição de rotacional:
(rot,vec u)k=varepsilonklm,partiall um
Logo,
(rot(rot,vec u))i=varepsilonijk,partialjl((rot,vec u)kr) =varepsilonijk,partialjl(varepsilonklm,partiall umr)

Passo 3

Usamos agora a identidade básica de contração de dois varepsilon:
varepsilonijk,varepsilonklm=de
o que dá
(rot(rot,vec u))i=(de

Passo 4

Reescrevendo cada termo, note que
partialjpartiali uj=partiali(partialj uj)=partiali(div,vec u)
e
partialjpartialj ui=De
Portanto o componente i-ésimo de rot(rot,vec u) é
(rot(rot,vec u))i=partiali(div,vec u)-De
e isso vale para i=1,2,3.

Passo 5

Juntando em forma vetorial, obtemos exatamente
rot(rot,vec u)=nabla(div,vec u)-(De

Resposta

Foi demonstrado que rot(rot,vec u)=nabla(div,vec u)-(De.

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