Dados campo
de classe
, mostre que
, onde
é o operador laplaciano:
, sendo
uma função de classe
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que, para um campo vetorial
suave, vale a identidade
. Aqui o conteúdo envolvido é cálculo vetorial: rotacional, divergência e o operador laplaciano. Vamos usar notação de índices para organizar bem a prova.
Passo 2
Em notação de índices com o símbolo de Levy-Civita
, temos a definição de rotacional:
Logo,
Passo 3
Usamos agora a identidade básica de contração de dois
:
o que dá
Passo 4
Reescrevendo cada termo, note que
e
Portanto o componente
-ésimo de
é
e isso vale para
.
Passo 5
Juntando em forma vetorial, obtemos exatamente
Resposta
Foi demonstrado que
.