Verifique se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente, justificando sua resposta:

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série sumn=1^infty3^nl(tfracnn+1r)^n^2. O conteúdo principal aqui são testes de convergência de séries, e vamos usar o teste da raiz, já que o termo geral tem potência em n^2.

Passo 2

O teste da raiz diz que, para uma série de termos positivos sum an, se existir o limite L=limntoinftyraiz[n]an, então: se L<1 a série converge; se L>1 diverge; se L=1 o teste é inconclusivo.

Passo 3

Vamos aplicar o teste da raiz ao termo an=3^nl(tfracnn+1r)^n^2. Temos
raiz[n]an=raiz[n]3^n;cdot;raiz[n]l(tfracnn+1r)^n^2=3;cdot;l(tfracnn+1r)^n

Passo 4

Precisamos então do limite
limntoinfty3l(tfracnn+1r)^n=3limntoinftyl(1+tfrac1nr)^-n

Passo 5

Lembrando que limntoinfty(1+1/n)^n=e, logo (1+1/n)^-n=e^-1. Portanto
L=3cdot e^-1=3e

Passo 6

Como 3/eapprox1,103>1, pelo teste da raiz a série diverge.

Resposta

A série diverge, pois pelo teste da raiz o limite da raiz enésima dos termos é 3/e>1.

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