Dados cc1 & 1 -1 & 1. Os vetores ll2 & 1 1 & 3 e ll0 & 1 2 & 1 são linearmente independentes?

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial como V = M2times2 e dá três vetores (matrizes) v1, v2, v3. O conteúdo aqui é independência linear em um espaço de dimensão 4, e precisamos verificar se a combinação linear que resulta na matriz zero só admite a solução trivial.

Passo 2

Consideramos a combinação linear alpha v1 + beta v2 + gamma v3 = 0. Traduzindo isso nas quatro entradas das matrizes, obtemos o sistema:
alpha + 2beta + 0gamma = 0 alpha + beta + gamma = 0 -alpha + beta + 2gamma = 0 alpha + 3beta + gamma = 0

Passo 3

Da primeira equação vemos que alpha = -2beta. Substituindo isso na segunda equação obtemos:
-2beta + beta + gamma = 0 Longrightarrow -beta + gamma = 0 Longrightarrow gamma = beta

Passo 4

Agora substituímos alpha = -2beta e gamma = beta na terceira equação e temos:
-(-2beta) + beta + 2beta = 0 Longrightarrow 2beta + beta + 2beta = 5beta = 0 Longrightarrow beta = 0

Passo 5

Como beta = 0, segue que gamma = 0 e alpha = -2cdot0 = 0. A quarta equação fica automaticamente satisfeita, confirmando que a única solução é a solução trivial.

Resposta

Sim. As matrizes v1, v2 e v3 são linearmente independentes.

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