Determine se os vetores dados são ou não linearmente independentes em
.
e
Passo 1
O enunciado pede para verificar se os vetores
e
em
são linearmente independentes. O conteúdo envolvido é independência linear de vetores, e vamos usar a definição de que eles são independentes se a única combinação linear que gera o vetor zero é a combinação trivial.
Passo 2
Para aplicar a definição, consideramos uma combinação linear genérica igual ao vetor zero:
Como
Passo 3
Agora vamos resolver esse sistema. Multiplicando a segunda equação por 2, temos
Subtraindo a primeira equação desta, obtemos
Substituindo
em
, vem
Passo 4
Como a única solução para
e
é
e
, concluímos que só existe a combinação trivial que gera o vetor zero. Portanto, os vetores são linearmente independentes.
Resposta
Os vetores são linearmente independentes.