Determine se os vetores dados são ou não linearmente independentes em R^2.
v1=(2,1) e v2=(3,2)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os vetores v1=(2,1) e v2=(3,2) em R^2 são linearmente independentes. O conteúdo envolvido é independência linear de vetores, e vamos usar a definição de que eles são independentes se a única combinação linear que gera o vetor zero é a combinação trivial.

Passo 2

Para aplicar a definição, consideramos uma combinação linear genérica igual ao vetor zero:
alpha,v1 + beta,v2 = (0,0)
Como v1=(2,1) e v2=(3,2), isso gera o sistema de equações:
2alpha + 3beta = 0, alpha + 2beta = 0

Passo 3

Agora vamos resolver esse sistema. Multiplicando a segunda equação por 2, temos
2alpha + 4beta = 0
Subtraindo a primeira equação desta, obtemos
(2alpha + 4beta) - (2alpha + 3beta) = 0 implies beta = 0
Substituindo beta=0 em alpha + 2beta = 0, vem
alpha = 0

Passo 4

Como a única solução para alpha e beta é alpha=0 e beta=0, concluímos que só existe a combinação trivial que gera o vetor zero. Portanto, os vetores são linearmente independentes.

Resposta

Os vetores são linearmente independentes.

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