Sejam T, G: V V operadores que comutam. Mostre que ker T, Im(T) e AutT(lambda) são G-invariantes.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dadas aplicações lineares T,G:Vto V que comutam (isto é, Tcirc G = Gcirc T), os subespaços ker(T), Im(T) e o autovalor-espaço AutT(lambda)=v:T(v)=lambda v são invariantes por G. Vamos usar a definição de subespaço G-invariante: um subespaço Wsubset V é G-invariante se G(w)in W para todo win W.

Passo 2

Para mostrar que ker(T) é G-invariante, tomamos vinker(T). Então T(v)=0. Como T e G comutam,
Tl(G(v)r)=Gl(T(v)r)=G(0)=0,
logo G(v)inker(T). Isso prova a invariância de ker(T).

Passo 3

Agora mostramos que Im(T) é G-invariante. Seja winIm(T), então existe uin V tal que w=T(u). Novamente, usando a comutação,
G(w)=Gl(T(u)r)=Tl(G(u)r),
e assim G(w) está na imagem de T. Portanto Im(T) é G-invariante.

Passo 4

Por fim, para o autovalor-espaço AutT(lambda)=vin V:T(v)=lambda v, tomamos v tal que T(v)=lambda v. A comutação dá
Tl(G(v)r)=Gl(T(v)r)=G(lambda v)=lambda,G(v)

Passo 5

Isso mostra que G(v) também satisfaz T(G(v))=lambda G(v), logo G(v) permanece no espaço próprio de lambda.

Resposta

Concluímos que ker(T), Im(T) e o autovalor-espaço de T associado a lambda são todos invariantes por G.

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