Sejam
operadores que comutam. Mostre que ker
e
são
-invariantes.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dadas aplicações lineares
que comutam (isto é,
), os subespaços
,
e o autovalor-espaço
são invariantes por
. Vamos usar a definição de subespaço
-invariante: um subespaço
é
-invariante se
para todo
.
Passo 2
Para mostrar que
é
-invariante, tomamos
. Então
. Como
e
comutam,
logo
Passo 3
Agora mostramos que
é
-invariante. Seja
, então existe
tal que
. Novamente, usando a comutação,
e assim
Passo 4
Por fim, para o autovalor-espaço
, tomamos
tal que
. A comutação dá
Passo 5
Isso mostra que
também satisfaz
, logo
permanece no espaço próprio de
.
Resposta
Concluímos que
,
e o autovalor-espaço de
associado a
são todos invariantes por
.