Determine uma base para o plano x-2 y+3 z=0 em R^3. A seguir, determine uma base para a intersecção deste plano com o plano x y. Por fim, determine uma base para o conjunto de todos os vetores perpendiculares ao primeiro plano.

Passo 1

O enunciado pede três coisas: (1) uma base para o plano x-2y+3z=0 em R^3, (2) uma base para a sua interseção com o plano xy (isto é, z=0) e (3) uma base para o conjunto de vetores perpendiculares ao primeiro plano. Vamos usar parametrização de subespaço e a noção de núcleo de funcional linear.

Passo 2

Para achar uma base do plano x-2y+3z=0, note que ele é o núcleo do funcional ell(x,y,z)=x-2y+3z. Tomamos variáveis livres y=s e z=t. Da equação x-2s+3t=0 segue x=2s-3t. Assim, todo vetor (x,y,z) no plano se escreve como
(x,y,z)=(2s-3t,;s,;t)=s,(2,1,0)+t,(-3,0,1)
Os vetores (2,1,0) e (-3,0,1) são linearmente independentes e geram o plano, logo formam uma base.

Passo 3

Para a interseção com o plano xy impomos z=0, o que significa t=0 na parametrização anterior. Então
(x,y,0)=s,(2,1,0)
Dessa forma a interseção é uma reta gerada por (2,1,0), e (2,1,0) é uma base.

Passo 4

O conjunto de vetores perpendiculares ao plano é exatamente o ortogonal do núcleo de ell, ou seja, é gerado pelo vetor normal (1,-2,3) da equação. Como esse vetor não é nulo, (1,-2,3) é uma base do complemento ortogonal.

Resposta

Uma base para o plano x-2y+3z=0 é (2,1,0),,(-3,0,1); para a interseção com o plano xy é (2,1,0); e para o conjunto de vetores perpendiculares ao primeiro plano é (1,-2,3).

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