Determine uma base para o plano
em
. A seguir, determine uma base para a intersecção deste plano com o plano
. Por fim, determine uma base para o conjunto de todos os vetores perpendiculares ao primeiro plano.
Passo 1
O enunciado pede três coisas: (1) uma base para o plano
em
, (2) uma base para a sua interseção com o plano
(isto é,
) e (3) uma base para o conjunto de vetores perpendiculares ao primeiro plano. Vamos usar parametrização de subespaço e a noção de núcleo de funcional linear.
Passo 2
Para achar uma base do plano
, note que ele é o núcleo do funcional
. Tomamos variáveis livres
e
. Da equação
segue
. Assim, todo vetor
no plano se escreve como
Os vetores
e
são linearmente independentes e geram o plano, logo formam uma base.
Passo 3
Para a interseção com o plano
impomos
, o que significa
na parametrização anterior. Então
Dessa forma a interseção é uma reta gerada por
, e
é uma base.
Passo 4
O conjunto de vetores perpendiculares ao plano é exatamente o ortogonal do núcleo de
, ou seja, é gerado pelo vetor normal
da equação. Como esse vetor não é nulo,
é uma base do complemento ortogonal.
Resposta
Uma base para o plano
é
; para a interseção com o plano
é
; e para o conjunto de vetores perpendiculares ao primeiro plano é
.