Escrever o número complexo na forma trigonométrica:
z=1-\sqrt{3} i

Passo 1

O enunciado pede para escrever o número complexo z=1-\sqrt{3}\,i na forma trigonométrica.
Informações dadas que vamos usar:
\operatorname{Re}(z)=1 (parte real) e \operatorname{Im}(z)=-\sqrt{3} (parte imaginária).
Objetivo: encontrar o módulo r e o argumento \theta para escrever z como r\big(\cos\theta + i\sin\theta\big).

Passo 2

O que é a forma trigonométrica e como achamos r e \theta:
  • A forma trigonométrica de um complexo z=x+yi é
z = r\big(\cos\theta + i\sin\theta\big),
onde r é o módulo e \theta é o argumento.
  • O módulo r é dado por
r = |z| = \sqrt{x^2+y^2},
ou seja, é a distância do ponto (x,y) até a origem no plano complexo. Aqui x=\operatorname{Re}(z) e y=\operatorname{Im}(z).
  • O argumento \theta é o ângulo que o vetor que representa z faz com o eixo real positivo. Em muitos casos podemos calcular um ângulo de referência com a tangente:
\theta_{\text{ref}} = \arctan\!\left(\frac{|y|}{|x|}\right),
mas é crucial ajustar \theta ao quadrante correto, olhando os sinais de x e y.

Passo 3

Calculando o módulo r para z=1-\sqrt{3}\,i (aqui x=1 e y=-\sqrt{3}):
r = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2.
Então r=2.

Passo 4

Agora o argumento \theta. Primeiro o ângulo de referência:
\theta_{\text{ref}} = \arctan\!\left(\frac{|y|}{x}\right) = \arctan\!\left(\frac{\sqrt{3}}{1}\right) = \arctan(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}.
Agora determinamos o quadrante usando os sinais: x=1>0 e y=-\sqrt{3}<0, ou seja, o ponto (1,-\sqrt{3}) está no quarto quadrante. No quarto quadrante o ângulo principal (no intervalo (-\pi,\pi]) é negativo e igual a -\theta_{\text{ref}}. Portanto
\theta = -\frac{\pi}{3}.
(Alternativamente podemos usar o equivalente positivo \theta = \frac{5\pi}{3}.)

Passo 5

Montando a forma trigonométrica: com r=2 e \theta=-\frac{\pi}{3} temos
z = 2\left(\cos\!\left(-\frac{\pi}{3}\right) + i\sin\!\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right).
Para conferir rapidamente: \cos\!\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2} e \sin\!\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}. Então
2\left(\frac{1}{2} + i\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right) = 1 - \sqrt{3}\,i,
o que confirma que a forma está correta. Também podemos escrever o argumento de forma geral como \theta = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi, k\in\mathbb{Z}.

Resposta

z=2\left(\cos\!\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)+i\sin\!\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)\right)
z=2\left(\cos\!\left(\dfrac{5\pi}{3}\right)+i\sin\!\left(\dfrac{5\pi}{3}\right)\right)
Forma geral: z=2\big(\cos\theta+i\sin\theta\big), com \theta=-\dfrac{\pi}{3}+2k\pi,\\ k\in\mathbb{Z}.

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