Escrever o número complexo na forma trigonométrica:
Passo 1
O enunciado pede para escrever o número complexo
na forma trigonométrica.
Informações dadas que vamos usar:
(parte real) e
(parte imaginária).
Objetivo: encontrar o módulo e o argumento
para escrever
como
.
Informações dadas que vamos usar:
Objetivo: encontrar o módulo
Passo 2
O que é a forma trigonométrica e como achamos
e
:
- A forma trigonométrica de um complexo
é
onde
é o módulo e
é o argumento.
- O módulo
é dado por
ou seja, é a distância do ponto
até a origem no plano complexo. Aqui
e
.
- O argumento
é o ângulo que o vetor que representa faz com o eixo real positivo. Em muitos casos podemos calcular um ângulo de referência com a tangente:
mas é crucial ajustar
ao quadrante correto, olhando os sinais de
e
.
Passo 3
Calculando o módulo
para
(aqui
e
):
Então
.
Passo 4
Agora o argumento
. Primeiro o ângulo de referência:
Agora determinamos o quadrante usando os sinais:
e
, ou seja, o ponto
está no quarto quadrante. No quarto quadrante o ângulo principal (no intervalo
) é negativo e igual a
. Portanto
(Alternativamente podemos usar o equivalente positivo
.)
Passo 5
Montando a forma trigonométrica: com
e
temos
Para conferir rapidamente:
e
. Então
o que confirma que a forma está correta. Também podemos escrever o argumento de forma geral como
,
.
Resposta
Forma geral: