Questão 28 (Santa casa - SP)
Se os complexos
e
são tais que
isen
e
, então o módulo de
é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado dá duas informações e faz uma pergunta clara.
-
Dados:
.
. -
Pergunta:
Calcular o módulo de, ou seja, encontrar .
Passo 2
Vamos transformar
da forma trigonométrica para a forma retangular (cartesiana). A regra é: se
então as componentes reais e imaginárias são
Aqui
e
. Precisamos das razões trigonométricas de
. Como
, usamos o ângulo de referência
:
Portanto,
Passo 3
Multiplicando por
as componentes:
Agora calculamos
. Subtraindo
(número real) da parte real:
Ou seja, a parte real é
e a parte imaginária é
.
Passo 4
Lembrando a definição do módulo de um número complexo: se
, então
Aqui
e
. Aplicando a fórmula:
Passo 5
Vamos desenvolver as potências com calma.
Calculemos primeiro
. Como
, com
e
(ou simplesmente usar
com sinal positivo ao quadrar):
E
Somando:
Passo 6
Agora extraímos fator comum para simplificar a raiz:
Logo
Esse é o valor exato do módulo e corresponde à alternativa (e).
Resposta
e)