Questão 28 (Santa casa - SP)
Se os complexos z_{1} e z_{2} são tais que \mathrm{z}_{1}=2\left(\cos 135^{\circ}+\right. isen \left.135^{\circ}\right) e \mathrm{z}_{2}=\mathrm{z}_{1}-2, então o módulo de z_{2} é igual a:
a) 2 \sqrt{2}
b) 2 \sqrt{3}
c) 2 \sqrt{3 \sqrt{2}}
d) 4+2 \sqrt{2}
e) 2 \sqrt{2+\sqrt{2}}

Passo 1

O enunciado dá duas informações e faz uma pergunta clara.
  • Dados:
    \mathrm{z}_{1}=2\bigl(\cos 135^{\circ}+i\sin 135^{\circ}\bigr).
    \mathrm{z}_{2}=\mathrm{z}_{1}-2.
  • Pergunta:
    Calcular o módulo de \mathrm{z}_{2}, ou seja, encontrar |\mathrm{z}_{2}|.

Passo 2

Vamos transformar \mathrm{z}_{1} da forma trigonométrica para a forma retangular (cartesiana). A regra é: se
\mathrm{z}=r\bigl(\cos\theta+i\sin\theta\bigr),
então as componentes reais e imaginárias são
\Re(\mathrm{z})=r\cos\theta,\qquad \Im(\mathrm{z})=r\sin\theta.
Aqui r=2 e \theta=135^{\circ}. Precisamos das razões trigonométricas de 135^{\circ}. Como 135^{\circ}=180^{\circ}-45^{\circ}, usamos o ângulo de referência 45^{\circ}:
\cos 135^{\circ}=-\frac{\sqrt{2}}{2},\qquad \sin 135^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}.
Portanto,
\mathrm{z}_{1}=2\Bigl(-\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}\Bigr).

Passo 3

Multiplicando por 2 as componentes:
\mathrm{z}_{1}=-\sqrt{2}+i\sqrt{2}.
Agora calculamos \mathrm{z}_{2}=\mathrm{z}_{1}-2. Subtraindo 2 (número real) da parte real:
\mathrm{z}_{2}=(-\sqrt{2}-2)+i\sqrt{2}.
Ou seja, a parte real é x=-\sqrt{2}-2 e a parte imaginária é y=\sqrt{2}.

Passo 4

Lembrando a definição do módulo de um número complexo: se \mathrm{z}=x+iy, então
|\mathrm{z}|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Aqui x=-\sqrt{2}-2 e y=\sqrt{2}. Aplicando a fórmula:
|\mathrm{z}_{2}|=\sqrt{(-\sqrt{2}-2)^{2}+(\sqrt{2})^{2}}.

Passo 5

Vamos desenvolver as potências com calma.
Calculemos primeiro (-\sqrt{2}-2)^{2}. Como (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, com a=-\sqrt{2} e b=-2 (ou simplesmente usar 2+\sqrt{2} com sinal positivo ao quadrar):
(-\sqrt{2}-2)^{2}=(2+\sqrt{2})^{2}=2^{2}+2\cdot 2\cdot\sqrt{2}+(\sqrt{2})^{2}=4+4\sqrt{2}+2=6+4\sqrt{2}.
E
(\sqrt{2})^{2}=2.
Somando:
(-\sqrt{2}-2)^{2}+(\sqrt{2})^{2}=(6+4\sqrt{2})+2=8+4\sqrt{2}.

Passo 6

Agora extraímos fator comum para simplificar a raiz:
8+4\sqrt{2}=4\bigl(2+\sqrt{2}\bigr).
Logo
|\mathrm{z}_{2}|=\sqrt{4\bigl(2+\sqrt{2}\bigr)}=2\sqrt{2+\sqrt{2}}.
Esse é o valor exato do módulo e corresponde à alternativa (e).

Resposta

e) 2\sqrt{2+\sqrt{2}}

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