Dados os números complexos Z_{1}=3\left[\cos \left(\frac{2 \pi}{3}\right)+i \cdot \operatorname{sen}\left(\frac{2 \pi}{3}\right)\right] e z_{2}=5\left[\cos \left(\frac{\pi}{2}-(\alpha \cdot \pi)\right)+i \cdot \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2}-(\alpha \cdot \pi)\right]\right] determine o menor valor de \alpha, real e positivo, de modo que o número \frac{z_{1}}{z_{2}}\, seja real.

Passo 1

O enunciado dá os números complexos
Z_{1}=3\left[\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)+i\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)\right]
e
Z_{2}=5\left[\cos\left(\frac{\pi}{2}-(\alpha\pi)\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{2}-(\alpha\pi)\right)\right],
e pede: determinar o menor valor de \alpha, real e positivo, tal que o número \dfrac{Z_{1}}{Z_{2}} seja real.
Informações importantes extraídas do enunciado:
|Z_{1}|=3,\qquad \arg(Z_{1})=\frac{2\pi}{3},
|Z_{2}|=5,\qquad \arg(Z_{2})=\frac{\pi}{2}-\alpha\pi.
A pergunta é só uma: achar o menor \alpha>0 que torne \dfrac{Z_{1}}{Z_{2}} um número real.

Passo 2

Conceito que vamos usar: número complexo em forma polar tem módulo e argumento. Se
z=r(\cos\theta+i\sin\theta),
então o argumento é \theta e o módulo é r.
Regra para quociente em forma polar (fórmula que vamos usar): se
z_{1}=r_{1}(\cos\theta_{1}+i\sin\theta_{1}),\quad z_{2}=r_{2}(\cos\theta_{2}+i\sin\theta_{2}),
então
\frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{r_{1}}{r_{2}}\big(\cos(\theta_{1}-\theta_{2})+i\sin(\theta_{1}-\theta_{2})\big).
Ou seja, o quociente tem módulo \dfrac{r_{1}}{r_{2}} e argumento \theta_{1}-\theta_{2}.

Passo 3

Condição para o quociente ser real: um número complexo R(\cos\varphi+i\sin\varphi) é real se e somente se a sua parte imaginária for zero, isto é, se \sin\varphi=0. Isso ocorre quando
\varphi = k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Portanto, para \dfrac{Z_{1}}{Z_{2}} ser real, precisamos que
\theta_{1}-\theta_{2}=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.

Passo 4

Aplicando ao nosso caso: \theta_{1}=\dfrac{2\pi}{3} e \theta_{2}=\dfrac{\pi}{2}-\alpha\pi. Então
\theta_{1}-\theta_{2}=\frac{2\pi}{3}-\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\pi\right).
Vamos simplificar essa diferença.

Passo 5

Calcule a diferença dos ângulos:
\frac{2\pi}{3}-\frac{\pi}{2}+\alpha\pi.
Colocando em denominar comum (6) para os termos numéricos:
\frac{2\pi}{3}-\frac{\pi}{2}=\frac{4\pi}{6}-\frac{3\pi}{6}=\frac{\pi}{6}.
Logo
\theta_{1}-\theta_{2}=\frac{\pi}{6}+\alpha\pi=\pi\left(\alpha+\frac{1}{6}\right).

Passo 6

Impondo a condição de ser múltiplo de \pi:
\pi\left(\alpha+\frac{1}{6}\right)=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Cancelando \pi,
\alpha+\frac{1}{6}=k\quad\Longrightarrow\quad \alpha = k-\frac{1}{6},\qquad k\in\mathbb{Z}.

Passo 7

Agora precisamos do menor \alpha>0. Teste valores inteiros de k:
  • Se k=0 então \alpha=-\dfrac{1}{6} (negativo) — rejeitar.
  • Se k=1 então \alpha=1-\dfrac{1}{6}=\dfrac{5}{6} (positivo) — candidato.
    Valores k\le 0 dão \alpha\le -\dfrac{1}{6} (todos negativos). Para k=1 já obtemos o menor \alpha positivo possível, pois para k<1 \alpha é negativa e para k\ge2 \alpha é maior que \dfrac{5}{6}.
Portanto o menor \alpha>0 é
\alpha=\frac{5}{6}.

Passo 8

Verificação rápida: com \alpha=\dfrac{5}{6} o ângulo do quociente é
\theta_{1}-\theta_{2}=\pi\left(\frac{5}{6}+\frac{1}{6}\right)=\pi,
e \cos\pi=-1,\\ \sin\pi=0, então
\frac{Z_{1}}{Z_{2}}=\frac{3}{5}(\cos\pi+i\sin\pi)=\frac{3}{5}(-1+0i)=-\frac{3}{5},
que é real (negativo). Tudo consistente.

Resposta

\displaystyle \alpha=\frac{5}{6}

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