Dados os números complexos
e
determine o menor valor de
, real e positivo, de modo que o número
Passo 1
O enunciado dá os números complexos
e
e pede: determinar o menor valor de
, real e positivo, tal que o número
seja real.
Informações importantes extraídas do enunciado:
A pergunta é só uma: achar o menor
que torne
um número real.
Passo 2
Conceito que vamos usar: número complexo em forma polar tem módulo e argumento. Se
então o argumento é
e o módulo é
.
Regra para quociente em forma polar (fórmula que vamos usar): se
então
Ou seja, o quociente tem módulo
e argumento
.
Passo 3
Condição para o quociente ser real: um número complexo
é real se e somente se a sua parte imaginária for zero, isto é, se
. Isso ocorre quando
Portanto, para
ser real, precisamos que
Passo 4
Aplicando ao nosso caso:
e
. Então
Vamos simplificar essa diferença.
Passo 5
Calcule a diferença dos ângulos:
Colocando em denominar comum (6) para os termos numéricos:
Logo
Passo 6
Impondo a condição de ser múltiplo de
:
Cancelando
,
Passo 7
Agora precisamos do menor
. Teste valores inteiros de
:
- Se
então (negativo) — rejeitar. - Se
então (positivo) — candidato.
Valoresdão (todos negativos). Para já obtemos o menor positivo possível, pois para é negativa e para é maior que .
Portanto o menor
é
Passo 8
Verificação rápida: com
o ângulo do quociente é
e
, então
que é real (negativo). Tudo consistente.