Determine a solução geral das equações diferenciais utilizando o método da variação de parâmetros para resolução da parte não-homogênea.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem não-homogênea
e pede a solução geral usando o método da variação de parâmetros.
Conteúdo: solução da homogênea (raízes da equação característica) e depois variação de parâmetros para achar uma solução particular.
Passo 2
Primeiro achamos a solução geral da parte homogênea
A equação característica é
logo ou .
Assim
onde são constantes arbitrárias.
Passo 3
Para variação de parâmetros usamos como base duas soluções particulares
O Wronskiano é
As fórmulas da variação de parâmetros dão
u1' = -f(x),y2W, u2' = f(x),y1W,
once f(x)=dfrace^3x1+e^x.
Passo 4
Calculamos
u1' = - e^3x1+e^x,e^2xe^3x = -e^2x1+e^x,
u2' = e^3x1+e^x,e^xe^3x = e^x1+e^x
Para integrar u1': faça t=e^x, de modo que dt=e^x,dx e