Determine a solução geral das equações diferenciais utilizando o método da variação de parâmetros para resolução da parte não-homogênea.
y^prime prime-3 y^prime+2 y=e^3 x(1+e^x)

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem não-homogênea
y''-3y'+2y=e^3x1+e^x
e pede a solução geral usando o método da variação de parâmetros.
Conteúdo: solução da homogênea (raízes da equação característica) e depois variação de parâmetros para achar uma solução particular.

Passo 2

Primeiro achamos a solução geral da parte homogênea
y''-3y'+2y=0
A equação característica é
r^2-3r+2=0Longrightarrow (r-1)(r-2)=0
logo r=1 ou r=2.
Assim
yh = C1 e^x + C2 e^2x,
onde C1,C2 são constantes arbitrárias.

Passo 3

Para variação de parâmetros usamos como base duas soluções particulares
y1=e^x, y2=e^2x
O Wronskiano é
W = y1 & y2 y1' & y2' = e^x & e^2x e^x & 2e^2x = e^xcdot 2e^2x - e^2xcdot e^x = e^3x
As fórmulas da variação de parâmetros dão
u1' = -f(x),y2W, u2' = f(x),y1W,
once f(x)=dfrace^3x1+e^x.

Passo 4

Calculamos
u1' = - e^3x1+e^x,e^2xe^3x = -e^2x1+e^x,
u2' = e^3x1+e^x,e^xe^3x = e^x1+e^x
Para integrar u1': faça t=e^x, de modo que dt=e^x,dx e
integral u1',dx = -integral e^2x1+e^x,dx = -integral t^21+tcdotdtt = -integral t1+t,dt = -integral l(1-11+tr),dt = -l(t-ln(1+t)r)
Logo, desprezando constante,
u1 = -e^x + ln(1+e^x)
Para u2:
u2 = integral e^x1+e^x,dx = integral dt1+t = ln(1+t) = ln(1+e^x)

Passo 5

A solução particular é
yp = u1,y1 + u2,y2 = l(-e^x + ln(1+e^x)r)e^x + ln(1+e^x),e^2x
Agrupando,
yp = -e^2x + l(e^x+e^2xr)ln(1+e^x) = -e^2x + e^x(1+e^x)ln(1+e^x)
Portanto a solução geral é
y(x) = yh + yp = C1 e^x + C2 e^2x - e^2x + e^x(1+e^x)ln(1+e^x)

Resposta

boxedy(x) = C1 e^x + C2 e^2x - e^2x + e^x(1+e^x)lnl(1+e^xr),
com C1,C2 constantes arbitrárias.

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