Dados os conjuntos A e B, seja X um conjunto com as seguintes propriedades:
(\mathrm{P} 1) X \supset A e X \supset B ; \quad(\mathrm{P} 2) Se Y \supset A e Y \supset B então Y \supset X.
Prove que X=A \cup B.

Passo 1

O enunciado define um conjunto X que satisfaz \mathrm{(P1)} X\supset A e X\supset B \mathrm{(P2)} Se Y\supset A e Y\supset B então Y\supset X.
Isto diz que X é o menor conjunto (pelo critério da inclusão) que contém A e B. Vamos mostrar que esse “menor conjunto” é justamente A\cup B.

Passo 2

Mostramos primeiro que
A\cup B \subset X.
Como A\subset X e B\subset X pela propriedade \mathrm{(P1)}, qualquer elemento de A\cup B está em X. Logo
A\cup B \subset X.

Passo 3

Agora mostramos que
X \subset A\cup B.
Considere Y = A\cup B. Claramente Y\supset A e Y\supset B, então pela propriedade \mathrm{(P2)} segue Y\supset X. Ou seja,
A\cup B \supset X \quad\Longrightarrow\quad X \subset A\cup B.

Resposta

Juntando as duas inclusões obtemos
X = A\cup B.

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