Sejam
e
conjuntos.
(a) Determine uma condição necessária e suficiente para que se tenha
.
(b) Dê exemplo de conjuntos
e
tais que
.
(a) Determine uma condição necessária e suficiente para que se tenha
(b) Dê exemplo de conjuntos
Passo 1
O enunciado fala sobre a igualdade entre
e
que envolve operações de união, interseção e condição de inclusão entre conjuntos. O conteúdo é álgebra de conjuntos e vamos precisar usar provas de dupla inclusão.
Passo 2
Mostramos primeiro que
Seja
. Então
e
.
- Se
, então claramente . - Se
, como segue ; e como , concluímos e logo .
Portanto todaem está em .
Passo 3
Agora verificamos quando vale
Se
, então ou
ou
.
- Se
, então e , o que implica e , logo . - Se
, para garantir precisamos também . Ou seja, é necessário e suficiente que todo elemento de pertença a , i.e.,
Passo 4
Juntando as duas inclusões, a igualdade
ocorre exatamente se
Passo 5
Para um exemplo em que não se verifica a igualdade, basta escolher
. Por exemplo,
Então
enquanto
e
.
Resposta
(a) A condição necessária e suficiente é
(b) Um exemplo é
(b) Um exemplo é
pois aí