Sejam A, B e C conjuntos.
(a) Determine uma condição necessária e suficiente para que se tenha A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap C.
(b) Dê exemplo de conjuntos A, B e C tais que A \cup(B \cap C) \neq(A \cup B) \cap C.

Passo 1

O enunciado fala sobre a igualdade entre
A \cup (B \cap C)
e
(A \cup B)\cap C,
que envolve operações de união, interseção e condição de inclusão entre conjuntos. O conteúdo é álgebra de conjuntos e vamos precisar usar provas de dupla inclusão.

Passo 2

Mostramos primeiro que
(A \cup B)\cap C \;\subseteq\; A \cup (B \cap C).
Seja x\in (A\cup B)\cap C. Então x\in A\cup B e x\in C.
  • Se x\in A, então claramente x\in A\cup (B\cap C).
  • Se x\notin A, como x\in A\cup B segue x\in B; e como x\in C, concluímos x\in B\cap C e logo x\in A\cup (B\cap C).
    Portanto toda x em (A\cup B)\cap C está em A\cup (B\cap C).

Passo 3

Agora verificamos quando vale
A \cup (B \cap C)\;\subseteq\;(A \cup B)\cap C.
Se x\in A\cup (B\cap C), então ou x\in A ou x\in B\cap C.
  • Se x\in B\cap C, então x\in B e x\in C, o que implica x\in A\cup B e x\in C, logo x\in (A\cup B)\cap C.
  • Se x\in A, para garantir x\in (A\cup B)\cap C precisamos também x\in C. Ou seja, é necessário e suficiente que todo elemento de A pertença a C, i.e., A\subseteq C.

Passo 4

Juntando as duas inclusões, a igualdade
A \cup (B \cap C) \;=\;(A \cup B)\cap C
ocorre exatamente se A\subseteq C.

Passo 5

Para um exemplo em que não se verifica a igualdade, basta escolher A\not\subseteq C. Por exemplo,
A=\{1\},\quad B=\{2\},\quad C=\{2\}.
Então
A\cup(B\cap C)=\{1\}\cup\emptyset=\{1\},
enquanto
(A\cup B)\cap C=\{1,2\}\cap\{2\}=\{2\},
e \{1\}\neq\{2\}.

Resposta

(a) A condição necessária e suficiente é A\subseteq C.
(b) Um exemplo é
A=\{1\},\quad B=\{2\},\quad C=\{2\},
pois aí \{1\}=\;A\cup(B\cap C)\neq (A\cup B)\cap C=\{2\}.

Exercícios relacionados