Prove as leis de distributividade para conjuntos.

Passo 1

O enunciado pede para provar as duas leis de distributividade envolvendo três conjuntos A, B e C:
A\cap (B\cup C) = (A\cap B)\,\cup\,(A\cap C) \quad\text{e}\quad A\cup (B\cap C) = (A\cup B)\,\cap\,(A\cup C).
O método padrão é mostrar que cada igualdade de conjuntos vale por dupla inclusão, usando as definições:
x\in X\cup Y significa “ x\in X ou x\in Y”.
x\in X\cap Y significa “ x\in X e x\in Y”.

Passo 2

Provar A\cap(B\cup C)\subseteq (A\cap B)\cup(A\cap C).
Seja x\in A\cap(B\cup C). Então x\in A e x\in B\cup C. Daí x\in B ou x\in C.
  • Se x\in B, então x\in A\cap B, logo x\in (A\cap B)\cup(A\cap C).
  • Se x\in C, então x\in A\cap C, logo x\in (A\cap B)\cup(A\cap C).
    Em ambos os casos x\in (A\cap B)\cup(A\cap C).

Passo 3

Provar (A\cap B)\cup(A\cap C)\subseteq A\cap(B\cup C).
Seja x\in (A\cap B)\cup(A\cap C). Então ou x\in A\cap B ou x\in A\cap C.
  • Se x\in A\cap B, então x\in A e x\in B, logo x\in B\cup C e assim x\in A\cap(B\cup C).
  • Se x\in A\cap C, então x\in A e x\in C, logo x\in B\cup C e x\in A\cap(B\cup C).

Passo 4

Concluímos que
A\cap(B\cup C) = (A\cap B)\cup(A\cap C).

Passo 5

Provar A\cup(B\cap C)\subseteq (A\cup B)\cap(A\cup C).
Seja x\in A\cup(B\cap C). Então x\in A ou x\in B\cap C.
  • Se x\in A, então x\in A\cup B e x\in A\cup C, logo x\in (A\cup B)\cap(A\cup C).
  • Se x\in B\cap C, então x\in B e x\in C, daí x\in A\cup B e x\in A\cup C, logo x\in (A\cup B)\cap(A\cup C).

Passo 6

Provar (A\cup B)\cap(A\cup C)\subseteq A\cup(B\cap C).
Seja x\in (A\cup B)\cap(A\cup C). Então x\in A\cup B e x\in A\cup C.
  • Se x\in A, então claramente x\in A\cup(B\cap C).
  • Se x\notin A, então das duas condições decorre x\in B e x\in C, ou seja x\in B\cap C, logo x\in A\cup(B\cap C).

Passo 7

Concluímos que
A\cup(B\cap C) = (A\cup B)\cap(A\cup C).

Resposta

A\cap(B\cup C) = (A\cap B)\cup(A\cap C),
A\cup(B\cap C) = (A\cup B)\cap(A\cup C).

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