Prove as leis de distributividade para conjuntos.
Passo 1
O enunciado pede para provar as duas leis de distributividade envolvendo três conjuntos
,
e
:
O método padrão é mostrar que cada igualdade de conjuntos vale por dupla inclusão, usando as definições:
– significa “
ou
”.
– significa “
e
”.
–
–
Passo 2
Provar
.
Seja . Então
e
. Daí
ou
.
Seja
- Se
, então , logo . - Se
, então , logo .
Em ambos os casos.
Passo 3
Provar
.
Seja . Então ou
ou
.
Seja
- Se
, então e , logo e assim . - Se
, então e , logo e .
Passo 4
Concluímos que
Passo 5
Provar
.
Seja . Então
ou
.
Seja
- Se
, então e , logo . - Se
, então e , daí e , logo .
Passo 6
Provar
.
Seja . Então
e
.
Seja
- Se
, então claramente . - Se
, então das duas condições decorre e , ou seja , logo .
Passo 7
Concluímos que