Dados os conjuntos A e B, os subconjuntos X e Y de A, e a aplicação f: A B.
Mostre que f(emptyset)=emptyset.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que a imagem do conjunto vazio sob qualquer aplicação f: A → B é o próprio conjunto vazio, usando a definição de imagem de conjunto.

Passo 2

Lembrando a definição: para qualquer S ⊆ A, a imagem de S por f é
f(S)=,f(x)mid xin S,

Passo 3

Para provar f(∅) ⊆ ∅, suponha que y ∈ f(∅). Então existe x ∈ ∅ tal que y = f(x). Mas o conjunto vazio não tem elementos, logo não existe tal x. Isso mostra que não há nenhum y em f(∅), ou seja, f(∅) é um conjunto sem elementos.
Sabemos também que o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto. Em particular, temos
∅ ⊆ f(∅)

Passo 4

Como temos as duas inclusões f(∅) ⊆ ∅ e ∅ ⊆ f(∅), concluímos que
f(∅)=∅

Resposta

emptyset

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