Dados os conjuntos
e
, os subconjuntos
e
de
, e a aplicação
.
Mostre que
.
Mostre que
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que a imagem do conjunto vazio sob qualquer aplicação f: A → B é o próprio conjunto vazio, usando a definição de imagem de conjunto.
Passo 2
Lembrando a definição: para qualquer S ⊆ A, a imagem de S por f é
Passo 3
Para provar f(∅) ⊆ ∅, suponha que y ∈ f(∅). Então existe x ∈ ∅ tal que y = f(x). Mas o conjunto vazio não tem elementos, logo não existe tal x. Isso mostra que não há nenhum y em f(∅), ou seja, f(∅) é um conjunto sem elementos.
Sabemos também que o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto. Em particular, temos
Sabemos também que o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto. Em particular, temos
Passo 4
Como temos as duas inclusões f(∅) ⊆ ∅ e ∅ ⊆ f(∅), concluímos que