Demonstre por indução que
para todo
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar, por indução matemática, que a função sucessor
nunca fixa um número, isto é, para todo
vale
. Vamos usar o princípio de indução e os axiomas de Peano relevantes: (P3)
e (P4) se
então
.
Passo 2
Base da indução (
): precisamos mostrar
. Isso é exatamente o axioma (P3) dos axiomas de Peano, que afirma que zero não é sucessor de nenhum número. Portanto, a propriedade vale para
.
Passo 3
Passo indutivo: suponha como hipótese de indução que para um certo
temos
. Queremos provar
. Note que
é por definição
, então
e
. O que precisamos mostrar é [s(s(k))\neq s(k)].
Passo 4
Suponha, para obter contradição, que
. Pelo axioma de injetividade do sucessor (P4), daí seguiria
, o que contraria a hipótese de indução
. Logo, não pode ocorrer .
Passo 5
Como a base e o passo indutivo estão estabelecidos, concluímos por indução que
para todo
.
Resposta
Para todo
, vale
.