Demonstre por indução que s(n) neq n para todo n in N

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar, por indução matemática, que a função sucessor s:NtoN nunca fixa um número, isto é, para todo ninN vale s(n)neq n. Vamos usar o princípio de indução e os axiomas de Peano relevantes: (P3) s(n)neq 0 e (P4) se s(a)=s(b) então a=b.

Passo 2

Base da indução ( n=0): precisamos mostrar s(0)neq 0. Isso é exatamente o axioma (P3) dos axiomas de Peano, que afirma que zero não é sucessor de nenhum número. Portanto, a propriedade vale para n=0.

Passo 3

Passo indutivo: suponha como hipótese de indução que para um certo kinN temos s(k)neq k. Queremos provar s(k+1)neq k+1. Note que k+1 é por definição s(k), então s(k+1)=s(s(k)) e k+1=s(k). O que precisamos mostrar é [s(s(k))\neq s(k)].

Passo 4

Suponha, para obter contradição, que s(s(k))=s(k). Pelo axioma de injetividade do sucessor (P4), daí seguiria s(k)=k, o que contraria a hipótese de indução s(k)neq k. Logo, não pode ocorrer .

Passo 5

Como a base e o passo indutivo estão estabelecidos, concluímos por indução que s(n)neq n para todo ninN.

Resposta

Para todo ninN, vale s(n)neq n.

Exercícios relacionados