Dados os conjuntos
Determine os subespaços vetoriais
S1 cap S2 e
S1+S2 . A soma de
S1 e
S2 é direta?
Passo 1
O enunciado define dois subespaços de
:
Queremos achar
,
e verificar se a soma é direta. O conteúdo é teoria de subespaços vetoriais em álgebra linear.
Passo 2
Parametrizamos um elemento genérico de cada subespaço.
Para , escrevemos
Para
com
.
Para , escrevemos
Para
com
.
Passo 3
Um elemento
Min S1cap S2 deve ser simultaneamente da forma de
M1 e de
M2 . Logo,
- Da forma
vemM1 ea=0 .b=4c - Da forma
vemM2 ,b=0 ec=0 .a=2d2
Das condições ec=0 segueb=4c . Comob=0 ea=0 , temosa=2d2 . Entãod2=0 é a matriz zero.M
Portanto
Passo 4
Qualquer soma
é
Chamando
,
e mantendo
livre, vemos que
são arbitrários e que sempre vale
. Logo
Passo 5
Como
S1cap S2=0 , a soma é direta.
Resposta
Sim, a soma é direta.