Dados os conjuntos
S1=[ll a & b c & d ] in M(2,2) rvert, a=0, b=4 c, S2=[ll a & b c & d ] in M(2,2) rvert, a=2 d, b=c=0
Determine os subespaços vetoriais S1 cap S2 e S1+S2. A soma de S1 e S2 é direta?

Passo 1

O enunciado define dois subespaços de :
Queremos achar , e verificar se a soma é direta. O conteúdo é teoria de subespaços vetoriais em álgebra linear.

Passo 2

Parametrizamos um elemento genérico de cada subespaço.
Para , escrevemos
com .
Para , escrevemos
com .

Passo 3

Um elemento Min S1cap S2 deve ser simultaneamente da forma de M1 e de M2. Logo,
  1. Da forma M1 vem a=0 e b=4c.
  2. Da forma M2 vem b=0, c=0 e a=2d2.
    Das condições c=0 e b=4c segue b=0. Como a=0 e a=2d2, temos d2=0. Então M é a matriz zero.
    Portanto
S1cap S2=,0

Passo 4

Qualquer soma é
Chamando , e mantendo livre, vemos que são arbitrários e que sempre vale . Logo

Passo 5

Como S1cap S2=0, a soma é direta.

Resposta

Sim, a soma é direta.

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