Determine o subespaço gerado pelos seguintes conjuntos:
A=[ll1 & 0 2 & 0],[cc0 & 0 -1 & 1],[cc2 & 0 3 & -1]

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para determinar o subespaço gerado pelo conjunto de três matrizes A = 1 & 0 2 & 0, 0 & 0 -1 & 1, 2 & 0 3 & -1 . Isso está relacionado ao estudo de espaços vetoriais e combinações lineares na matéria de Álgebra Linear. Para resolver isso, vamos precisar entender como combinar essas matrizes linearmente e identificar quais delas são essenciais para formar o subespaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um subespaço gerado por um conjunto de vetores (ou matrizes, no caso). O subespaço gerado por A é o conjunto de todas as possíveis combinações lineares das matrizes em A . Uma combinação linear envolve multiplicar cada matriz por um escalar (número real) e somar os resultados.
Então, se chamarmos as matrizes de M1, M2 e M3 , qualquer matriz no subespaço pode ser escrita como:
c1 M1 + c2 M2 + c3 M3
onde c1, c2, c3 são escalares.

Passo 3

Agora, vamos verificar se alguma dessas matrizes pode ser escrita como combinação das outras. Isso ajuda a simplificar o conjunto e identificar uma base para o subespaço.
Começamos assumindo que M3 é uma combinação de M1 e M2 :
M3 = a M1 + b M2
Substituindo as matrizes:
2 & 0 3 & -1 = a 1 & 0 2 & 0 + b 0 & 0 -1 & 1
Isso resulta em:
2 & 0 3 & -1 = a & 0 2a - b & b

Passo 4

Agora igualamos os elementos correspondentes das duas matrizes:
a = 2 0 = 0 2a - b = 3 b = -1
Do primeiro equação, já sabemos que a = 2 . Da última equação, b = -1 .
Substituindo a = 2 na terceira equação:
2(2) - (-1) = 4 + 1 = 5 neq 3
Aqui vemos que há um conflito, ou seja, não existe a e b que satisfaçam todas as equações simultaneamente. Isso significa que M3 não pode ser escrito como combinação linear de M1 e M2 .

Passo 5

Com essa informação, concluímos que M1 , M2 e M3 são linearmente independentes. Porém, precisamos verificar se há alguma relação de dependência entre M1 e M3 , já que M2 aparenta ser independente.
Considerando que já vimos que M3 não depende de M1 e M2 , podemos afirmar que todas as três matrizes são necessárias para gerar o subespaço. Portanto, o subespaço gerado por A é formado por todas as combinações lineares dessas três matrizes.

Resposta

O subespaço gerado pelo conjunto A é formado por todas as combinações lineares das matrizes M1, M2 e M3 . Ou seja, qualquer matriz no subespaço pode ser expressa como:
c1 1 & 0 2 & 0 + c2 0 & 0 -1 & 1 + c3 2 & 0 3 & -1
onde c1, c2, c3 são escalares reais.

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