Determine se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais
S=f in F(R, R) mid f(x^2)=f(x)+x

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
S = l,f:RtoRmid f(x^2) = f(x) + x forall xinRr
é um subespaço do espaço vetorial F(R,R).
Para isso precisamos usar o teste de subespaço, ou seja:
  1. Mostrar que S é não-vazio,
  2. Verificar que 0in S (função zero está em S),
  3. Verificar que S é fechado sob soma,
  4. Verificar que S é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Testamos a função zero, ;f0(x)=0 para todo x. Substituindo em
f0(x^2) stackrel?= f0(x) + x
temos
0 stackrel?= 0 + x Longrightarrow 0 = x,forall xinR,
o que é falso (só valeria para x=0, não para todo x).

Passo 3

Como a função zero não satisfaz a condição f(x^2)=f(x)+x, a função zero não pertence a S.

Passo 4

Não faz sentido verificar fechamento sob soma ou escalar se já falhamos no teste mais básico (inclusão do zero). Um subespaço sempre deve conter a função zero.

Resposta

S não é subespaço vetorial de F(R,R).

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