Determine se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais
é integrável
Passo 1
O enunciado quer saber se
é um subespaço vetorial de
.
Conteúdo: teoria de espaços vetoriais e subespaços; usaremos a definição de subespaço (não-vazio, fechado em soma e multiplicação escalar) e o fato de que funções Riemann-integráveis formam um espaço linear.
Conteúdo: teoria de espaços vetoriais e subespaços; usaremos a definição de subespaço (não-vazio, fechado em soma e multiplicação escalar) e o fato de que funções Riemann-integráveis formam um espaço linear.
Passo 2
Verificamos que
. Basta exibir um elemento de
. A função zero
é contínua, logo Riemann-integrável. Então
.
Passo 3
Fechamento em soma: sejam
. Como ambas são Riemann-integráveis em
, a teoria da integral de Riemann diz que
também é Riemann-integrável. Assim
.
Passo 4
Fechamento em multiplicação escalar: seja
e
. Como
é Riemann-integrável, então
também é Riemann-integrável (a integral satisfaz
). Logo
.
Passo 5
Como
contém o vetor zero, é fechado sob soma e sob multiplicação por escalares, concluímos que
é um subespaço vetorial de
.
Resposta
Sim.
é subespaço vetorial de
.