Determine se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais
S=f in F([a, b], R) mid f é integrável

Passo 1

O enunciado quer saber se
S = ,finF([a,b],R) mid f é Riemann-integrável em [a,b] éá
é um subespaço vetorial de F([a,b],R).
Conteúdo: teoria de espaços vetoriais e subespaços; usaremos a definição de subespaço (não-vazio, fechado em soma e multiplicação escalar) e o fato de que funções Riemann-integráveis formam um espaço linear.

Passo 2

Verificamos que Sneqvarnothing. Basta exibir um elemento de S. A função zero
0:[a,b]toR, 0(x)=0
é contínua, logo Riemann-integrável. Então 0in S.

Passo 3

Fechamento em soma: sejam f,gin S. Como ambas são Riemann-integráveis em [a,b], a teoria da integral de Riemann diz que
f+g
também é Riemann-integrável. Assim f+gin S.

Passo 4

Fechamento em multiplicação escalar: seja fin S e alphainR. Como f é Riemann-integrável, então alpha f também é Riemann-integrável (a integral satisfaz integral alpha f = alphaintegral f). Logo alpha fin S.

Passo 5

Como S contém o vetor zero, é fechado sob soma e sob multiplicação por escalares, concluímos que S é um subespaço vetorial de F([a,b],R).

Resposta

Sim. S é subespaço vetorial de F([a,b],R).

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