Determine o subespaço gerado pelos seguintes conjuntos:
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para determinar o subespaço gerado pelo conjunto . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, onde estudamos espaços vetoriais e subespaços. Para resolver, vamos precisar entender como combinar esses vetores para formar todos os possíveis vetores que pertencem ao subespaço gerado por eles.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um subespaço gerado por um conjunto de vetores. Basicamente, é o conjunto de todas as combinações lineares desses vetores. Ou seja, qualquer vetor no subespaço pode ser escrito como uma soma desses vetores multiplicados por escalares (números reais).
Então, queremos encontrar todos os vetores que podem ser escritos assim:
onde são números reais.
Passo 3
Vamos expandir essa combinação linear:
Simplificando, temos:
Passo 4
Agora, nosso objetivo é expressar [x, y, z) em termos de e (pode ser que seja dependente). Observamos que temos três equações aqui:
Podemos resolver esse sistema para expressar e .
Passo 5
Vamos resolver a primeira equação para a :
a = x + 3b
Agora, substituímos a na terceira equação:
z = (x + 3b) - 4b - c z = x - b - c Rightarrow c = x - b - z
Também temos y = 2b + c , substituindo c :
y = 2b + (x - b - z) y = x + b - z Rightarrow b = y - x + z
Passo 6
Agora que temos b em termos de x, y, z , podemos encontrar a e c :
a = x + 3(y - x + z) = x + 3y - 3x + 3z = -2x + 3y + 3z
c = x - (y - x + z) - z = x - y + x - z - z = 2x - y - 2z
Passo 7
Com a e c expressos em termos de x, y, z , podemos concluir que a combinação linear gera todos os vetores (x, y, z) no subespaço onde essas relações são satisfeitas. Em termos mais simples, o subespaço gerado pelos vetores de A é descrito por todas as combinações lineares desses vetores, que podem ser representadas pelas equações que encontramos.
Resposta
O subespaço gerado pelo conjunto [A = {(1,0,1), (-3,2,-4), (0,1,-1)}) é o conjunto de todos os vetores que satisfazem as equações: