Dados os conjuntos A e B, os subconjuntos W e Z de B, e a aplicação f: A B. A imagem inversa de W pela função f é o conjunto f^-1(W), formado por todos os pontos x in A tais que f(x) in W. Assim
f^-1(W)=x in A ; f(x) in W
Mostre que se W subset Z então f^-1(W) subset f^-1(Z).

Passo 1

O enunciado define a pré-imagem de um conjunto Wsubset B pela função fcolon Ato B como
f^-1(W)=xin A mid f(x)in W
Queremos usar essa definição e a hipótese Wsubset Z para provar que
f^-1(W)subset f^-1(Z)

Passo 2

Fazendo a prova por inclusão direta, seja um elemento arbitrário xin f^-1(W).
Então, por definição de pré-imagem, temos
f(x)in W
Como Wsubset Z, segue que
f(x)in Z
Logo, pelo mesmo critério de pré-imagem, x também pertence a f^-1(Z). Concluímos que
xin f^-1(Z)
Como x foi um elemento arbitrário de f^-1(W), isso mostra que todo elemento de f^-1(W) está em f^-1(Z), ou seja
f^-1(W)subset f^-1(Z)

Resposta

;f^-1(W)subset f^-1(Z)

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