Nos exercícios abaixo, encontre T(t) e N(t).
sigma(t)=ln (cos t) i+ln (sin t) j, 0<t<pi2.

Passo 1

O enunciado dá a curva
sigma(t)=ln(cos t),i+ln(sin t),j, 0<t<tfracpi2,
e pede o versor tangente T(t) e o versor normal N(t).
Conteúdo: derivada de vetor, norma, construção de T e de N em curva plana.

Passo 2

Calculamos a derivada
sigma'(t)=ddtl(ln(cos t)r),i+ddtl(ln(sin t)r),j =-tan t,i+cot t,j

Passo 3

A norma de sigma'(t) é
l|sigma'(t)r| =raiztan^2 t+cot^2 t
Logo o versor tangente é
T(t) =sigma'(t)|sigma'(t)| =-tan t,i+cot t,j raiztan^2 t+cot^2 t

Passo 4

Como a curva é planar em R^2 e sua curvatura é positiva (pode-se verificar que det(sigma',sigma'')>0), basta girar T em 90^circ no sentido anti-horário para obter o versor normal:
N(t)=(-Ty,,Tx)
onde Tx e Ty são as componentes de T.

Passo 5

Substituindo Tx=-tan t/raiztan^2 t+cot^2 t e Ty=cot t/raiztan^2 t+cot^2 t obtemos
N(t) =-cot t,i-tan t,j raiztan^2 t+cot^2 t

Resposta

T(t)=-tan t,i+cot t,j raiztan^2 t+cot^2 t, N(t)=-cot t,i-tan t,j raiztan^2 t+cot^2 t

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