Numa via de mão única que termina numa ponte, quer se estudar o tráfego. Encontra-se que esse volume é de 120 veículos/hora, em média. Assume-se que a chegada de veículos constitui um processo de Poisson. Ache a probabilidade de que:
a) num período de um minuto mais de três veículos cheguem ao pedágio;
b) em 3 minutos cheguem mais do que 1 veículo. Resp.: a) 0, 1429 ; b) 0,9826 .

Passo 1

O enunciado descreve um processo de chegadas de veículos segundo um processo de Poisson com taxa média de 120 veículos por hora. Vamos calcular duas probabilidades:
  • (a) no intervalo de 1 minuto, a chance de chegarem mais de 3 veículos;
  • (b) no intervalo de 3 minutos, a chance de chegarem mais de 1 veículo.

Passo 2

Para o item (a), transformamos a taxa para um minuto. Como 1 minuto equivale a tfrac160 horas, a média em um minuto é
lambda1 = 120 times 160 = 2
Assim, o número de chegadas N em 1 minuto segue Poisson(lambda1=2). Queremos
P(N>3) ;=; 1 - P(N<=3)

Passo 3

Calculamos P(N<=3) somando k=0 até 3:
P(N<=3) ;=; sumk=0^3 e^-2,2^kk! ;=; e^-2l(1 + 2 + tfrac2^22! + tfrac2^33!r) ;=; e^-2l(1 + 2 + 2 + tfrac86r) ;=; e^-2times tfrac233
Logo,
P(N>3) ;=; 1 - e^-2,233 approx 0,1429

Passo 4

Para o item (b), usamos intervalo de 3 minutos, ou seja tfrac360 horas, dando
lambda2 = 120 times 360 = 6
Aqui NsimPoisson(6) em 3 minutos. Queremos
P(N>1) ;=; 1 - P(N<=1) ;=; 1 - l[P(N=0)+P(N=1)r] ;=; 1 - l[e^-66^00! + e^-66^11!r] ;=; 1 - e^-6(1+6) approx 0,9826

Resposta

a) 0,1429
b) 0,9826

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