Três máquinas, A, B e C, produzem, respectivamente, 40 %, 50 % e 10 % da produção da empresa X. Historicamente as porcentagens de peças defeituosas produzidas em cada máquina são: 5 %, 3 % e 3 %, respectivamente. A empresa X contratou um engenheiro para fazer uma revisão nas máquinas e no processo de produção. Tal engenheiro conseguiu reduzir pela metade a probabilidade de peças defeituosas da empresa e , ainda, igualou as porcentagens de defeitos das máquinas A e B, e a porcentagem de defeitos em C ficou na metade da conseguida para B. Quais são as novas porcentagens de defeitos de cada máquina?

Passo 1

Beleza, o que o enunciado manda fazer? Temos três máquinas A, B e C com participações na produção de 40 %, 50 % e 10 %, e historicamente elas têm taxas de defeito de 5 %, 3 % e 3 %, respectivamente. O engenheiro cortou pela metade a probabilidade total de peça defeituosa da empresa e, além disso, deixou a taxa de A igual à de B, e a de C vale metade da de B. A ideia é descobrir essas novas taxas de defeito de cada máquina.
Conteúdo: Teorema da Probabilidade Total e um sisteminha de equações pra resolver proporções.

Passo 2

Primeiro a gente aplica o Teorema da Probabilidade Total para ver qual era a probabilidade geral de defeito antes da revisão. A fórmula é:
P(D)=P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)+P(C)P(D|C)
Substituindo:
P(D)=0,4cdot0,05+0,5cdot0,03+0,1cdot0,03=0,02+0,015+0,003=0,038
Ou seja, 3,8 % das peças saíam defeituosas.

Passo 3

Como ele reduziu pela metade a chance total de defeito, a nova probabilidade geral é
P(D)novo=0,0382=0,019(1,9%)

Passo 4

Definimos:
x=P(D|A)novo=P(D|B)novo,
e
P(D|C)novo=x2

Passo 5

Voltando ao Teorema da Probabilidade Total, agora com os valores novos:
P(D)novo=0,4,x+0,5,x+0,1!(x2)=0,019
Juntando termos:
0,4x+0,5x+0,05x=0,95x=0,019
Logo
x=0,0190,95=0,02;(2%)

Passo 6

E como P(D|C)novo=x/2, temos
0,022=0,01;(1%)

Resposta

As novas taxas de defeito são:
– Máquina A: 2 %
– Máquina B: 2 %
– Máquina C: 1 %

Exercícios relacionados