Dados a, x1, y1, x2, y2 in R, considere as seguintes operações definidas em R^2:
(x1, y1)+(x2, y2)=(x1 cdot x2, y1 cdot y2) a(x1, y1)=(a x1, a y1)
Mostre que com essas operações vale a associatividade da adição em R^2.

Passo 1

Vamos chamar
u=(x1,y1), v=(x2,y2), w=(x3,y3)
Queremos mostrar que
(u+v)+w ;=; u+(v+w),
onde a soma está definida por
(xi,yi)+(xj,yj) = (xixj,,yiyj)

Passo 2

Calcular primeiro (u+v)+w. Temos
u+v = (x1x2,,y1y2),
portanto
(u+v)+w = l((x1x2)cdot x3,;(y1y2)cdot y3r)

Passo 3

Calcular agora u+(v+w). Primeiro
v+w = (x2x3,,y2y3),
então
u+(v+w) = l(x1cdot(x2x3),;y1cdot(y2y3)r)

Passo 4

Como a multiplicação em R é associativa, temos
(x1x2)x3 = x1(x2x3) e (y1y2)y3 = y1(y2y3)
Logo
(u+v)+w = l((x1x2)x3,;(y1y2)y3r) = l(x1(x2x3),;y1(y2y3)r) = u+(v+w)

Resposta

A adição definida por (x1,y1)+(x2,y2)=(x1x2,y1y2) é associativa.

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