Dados a, x1, y1, x2, y2 in R, considere as seguintes operações definidas em R^2:
(x1, y1)+(x2, y2)=(x1 cdot x2, y1 cdot y2) a(x1, y1)=(a x1, a y1)
Mostre que com essas operações vale a comutatividade da adição em R^2.

Passo 1

O enunciado define em R^2 a “soma”
(x1,y1)+(x2,y2)=(x1cdot x2,;y1cdot y2)
e pede para mostrar que essa operação satisfaz a comutatividade, ou seja, que
(x1,y1)+(x2,y2)=(x2,y2)+(x1,y1)
para todos (x1,y1),(x2,y2)inR^2.

Passo 2

Calculemos primeiro
(x1,y1)+(x2,y2)=(x1cdot x2,;y1cdot y2)
Em seguida, trocando as parcelas, temos
(x2,y2)+(x1,y1)=(x2cdot x1,;y2cdot y1)

Passo 3

Como a multiplicação em R é comutativa, vale
x1cdot x2 = x2cdot x1 e y1cdot y2 = y2cdot y1
Logo
(x1cdot x2,;y1cdot y2) = (x2cdot x1,;y2cdot y1),
mostrando que a “soma” é comutativa.

Resposta

Para todos (x1,y1),(x2,y2)inR^2 vale
(x1,y1)+(x2,y2)=(x2,y2)+(x1,y1),
isto é, a adição definida é comutativa.

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