Dados a, x1, y1, x2, y2 in R, considere as seguintes operações definidas em R^2:
(x1, y1)+(x2, y2)=(x1 cdot x2, y1 cdot y2) a(x1, y1)=(a x1, a y1)
Determine um elemento neutro da adição definida em R^2.

Passo 1

O enunciado define em R^2 a “adição”
(x1,y1)+(x2,y2)=(x1,x2,;y1,y2)
e a multiplicação por escalar usual
a,(x1,y1)=(a x1,;a y1)
Queremos achar o elemento neutro da adição, isto é, um vetor e=(e1,e2) tal que, para todo (x,y)inR^2, vale
(x,y)+e=(x,y)

Passo 2

Aplicando a definição de adição ao par (x,y) e ao candidato e=(e1,e2), temos
(x,y)+(e1,e2) = (,x,e1,;y,e2,)
Para que isso seja igual a (x,y) para todo x,y, precisamos de
x,e1 = x e y,e2 = y forall,x,yinR

Passo 3

Da igualdade x,e1 = x para todo x segue que e1=1. De forma análoga, da igualdade y,e2 = y para todo y segue que e2=1.

Resposta

O elemento neutro da adição é (1,1).

Exercícios relacionados