Dados a, x1, y1, x2, y2 in R, considere as seguintes operações definidas em R^2:
(x1, y1)+(x2, y2)=(x1 cdot x2, y1 cdot y2) a(x1, y1)=(a x1, a y1)
Mostre que nem todo elemento de R^2 terá um elemento oposto (simétrico) com a adição definida e conclua que com as operações dadas, R^2 não é um R-espaço vetorial.

Passo 1

O enunciado define em R^2 a “adição”
(x1,y1) + (x2,y2) = (x1x2,,y1y2)
e a “multiplicação por escalar”
a,(x1,y1) = (a x1,,a y1)
Queremos verificar se todo elemento de R^2 tem um oposto (inverso aditivo) segundo essa “adição”. Essa verificação faz parte da lista de axiomas de espaço vetorial: em particular, deve existir para cada vetor v um vetor -v tal que v+(-v)=0, onde 0 é o elemento neutro da soma.

Passo 2

Primeiro determinamos o elemento neutro 0inR^2 para essa “adição”. Chamemos 0=(e1,e2). A condição é
(x,y)+(e1,e2)=(x,y) forall (x,y)inR^2
Como (x,y)+(e1,e2)=(x e1,,y e2), precisamos de
x e1 = x e y e2 = y forall x,yinR
Isso só ocorre se e1=1 e e2=1. Logo
0=(1,1)

Passo 3

Agora tentamos achar, dado um vetor arbitrário
Pelo definição da soma,
Logo precisamos resolver o sistema
Isso leva a
mas somente se .

Passo 4

Se x=0 ou y=0, não há como encontrar u ou v que satisfaçam x u=1 ou y v=1. Por exemplo, para (x,y)=(0,1) tentaríamos resolver
0cdot u = 1,
o que é impossível em R. Portanto (0,1) não tem inverso aditivo segundo essa adição.

Resposta

Como nem todo vetor de R^2 possui um oposto em relação à soma definida, a estrutura falha em um dos axiomas de espaço vetorial. Concluímos que R^2 com essas operações não é um R-espaço vetorial.

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