Dados
, considere as seguintes operações definidas em
:
Mostre que nem todo elemento de
terá um elemento oposto (simétrico) com a adição definida e conclua que com as operações dadas,
não é um
-espaço vetorial.
Passo 1
O enunciado define em
a “adição”
e a “multiplicação por escalar”
Queremos verificar se todo elemento de
tem um oposto (inverso aditivo) segundo essa “adição”. Essa verificação faz parte da lista de axiomas de espaço vetorial: em particular, deve existir para cada vetor
um vetor
tal que
, onde
é o elemento neutro da soma.
Passo 2
Primeiro determinamos o elemento neutro
para essa “adição”. Chamemos
. A condição é
Como
, precisamos de
Isso só ocorre se
e
. Logo
Passo 3
Agora tentamos achar, dado um vetor arbitrário
Pelo definição da soma,
Logo precisamos resolver o sistema
Isso leva a
mas somente se .
Passo 4
Se
ou
, não há como encontrar
ou
que satisfaçam
ou
. Por exemplo, para
tentaríamos resolver
o que é impossível em
. Portanto
não tem inverso aditivo segundo essa adição.
Resposta
Como nem todo vetor de
possui um oposto em relação à soma definida, a estrutura falha em um dos axiomas de espaço vetorial. Concluímos que
com essas operações não é um
-espaço vetorial.