Verifique se
com as operações abaixo é um
-espaço vetorial:
para quaisquer
.
Passo 1
O enunciado nos pede para verificar se o conjunto
, equipado com as operações
é um espaço vetorial sobre
. Para isso, precisamos checar os axiomas de espaço vetorial: comutatividade e associatividade da soma, existência de elemento neutro e inverso aditivo, e as quatro propriedades da multiplicação escalar (distributividades, compatibilidade e elemento escalar unitário).
Passo 2
Teste da comutatividade da soma. Se fosse comutativa, deveríamos ter
Por definição,
Em geral
. Por exemplo, para
e
:
e claramente
. Logo, a soma não é comutativa e já falha um dos axiomas fundamentais.
Passo 3
Verificação da existência do vetor nulo. Se existisse
tal que
teríamos
Isto exige
para todo
, ou seja
para todo
, absurdo. Portanto não existe elemento neutro da soma.
Passo 4
Como falharam já a comutatividade da soma e a existência do vetor nulo, concluímos que não são satisfeitos todos os axiomas de espaço vetorial. Não é necessário checar os demais.
Resposta
Não é um
-espaço vetorial.