Verifique se R^2 com as operações abaixo é um R-espaço vetorial:
(x1, y1)+(x2, y2)=(x1+y1, x2+y2) a(x1, y1)=(a^2 x1, a^2 y1),
para quaisquer a, x1, y1, x2, y2 in R.

Passo 1

O enunciado nos pede para verificar se o conjunto R^2, equipado com as operações
(x1,y1) + (x2,y2) = (x1+y1,,x2+y2),
a,(x1,y1) = (a^2x1,,a^2y1),
é um espaço vetorial sobre R. Para isso, precisamos checar os axiomas de espaço vetorial: comutatividade e associatividade da soma, existência de elemento neutro e inverso aditivo, e as quatro propriedades da multiplicação escalar (distributividades, compatibilidade e elemento escalar unitário).

Passo 2

Teste da comutatividade da soma. Se fosse comutativa, deveríamos ter
(x1,y1) + (x2,y2) ;=; (x2,y2) + (x1,y1) para todo ( (x1,y1),(x2,y2))
Por definição,
(x1,y1) + (x2,y2) = (x1+y1,,x2+y2),
(x2,y2) + (x1,y1) = (x2+y2,,x1+y1)
Em geral (x1+y1,x2+y2) neq (x2+y2,x1+y1). Por exemplo, para (2,3) e (5,7):
(2,3)+(5,7) = (2+3,,5+7) = (5,12),
(5,7)+(2,3) = (5+7,,2+3) = (12,5),
e claramente (5,12)neq(12,5). Logo, a soma não é comutativa e já falha um dos axiomas fundamentais.

Passo 3

Verificação da existência do vetor nulo. Se existisse 0=(e1,e2) tal que
(x1,y1) + (e1,e2) = (x1,y1) para todo ((x1,y1)),
teríamos
(x1+y1,,e1+e2) = (x1,y1)
Isto exige x1+y1=x1 para todo x1,y1, ou seja y1=0 para todo y1, absurdo. Portanto não existe elemento neutro da soma.

Passo 4

Como falharam já a comutatividade da soma e a existência do vetor nulo, concluímos que não são satisfeitos todos os axiomas de espaço vetorial. Não é necessário checar os demais.

Resposta

Não é um R-espaço vetorial.

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