Dados f(x)=cx^2+3, x <= 1 x+1, x>1 e g(x)=cx^2, x <= 1 2, x>1, determine:
(a) lim x 1^- f(x), lim x 1^+ f(x), lim x 1^- g(x), lim x 1^+ g(x);
(b) lim x 1^-(f(x) cdot g(x)), lim x 1^+(f(x) cdot g(x)), lim x 1(f(x) cdot g(x))

Passo 1

O enunciado dá duas funções definidas por partes em torno de x=1. Precisamos calcular limites laterais em x=1 para cada ramo de f e g (item (a)), e depois usar esses valores para obter os limites laterais e o limite total do produto f(x),g(x) em x=1 (item (b)).

Passo 2

Para f(x):
  • Se x<=1, então f(x)=x^2+3. Logo
    limxto1^-f(x)=1^2+3=4.
  • Se x>1, então f(x)=x+1. Logo
    limxto1^+f(x)=1+1=2.
Para g(x):
  • Se x<=1, então g(x)=x^2. Logo
    limxto1^-g(x)=1^2=1.
  • Se x>1, então g(x)=2. Logo
    limxto1^+g(x)=2.

Passo 3

Aplicando produto de limites laterais:
  • limxto1^-l(f(x)g(x)r)=l(limxto1^-f(x)r)!cdot!l(limxto1^-g(x)r)=4cdot1=4.
  • limxto1^+l(f(x)g(x)r)=l(limxto1^+f(x)r)!cdot!l(limxto1^+g(x)r)=2cdot2=4.

Passo 4

Como as duas laterais do produto coincidem, o limite total existe e vale
limxto1l(f(x)g(x)r)=4.

Resposta

(a) limxto1^-f(x)=4, limxto1^+f(x)=2, limxto1^-g(x)=1, limxto1^+g(x)=2
(b) limxto1^-(f(x)g(x))=4, limxto1^+(f(x)g(x))=4, limxto1(f(x)g(x))=4

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