Resolver os seguintes problemas:
Despeja-se areia sobre um monte em forma de cone a taxa constante de 1,4 m^3 / min. As forças de atrito na área são tais que a altura do monte é sempre igual ao raio de sua base. Com que velocidade a altura do monte aumenta quando ele tem 1,5 m de altura?

Passo 1

O enunciado descreve uma pilha de areia na forma de cone, onde a taxa de variação do volume é constante e igual a dVdt=1,4, m^3/min. Além disso, há a condição de que a altura do cone h é sempre igual ao raio da base r. Queremos achar a taxa de variação da altura dhdt quando h=1,5,m. O conteúdo aqui é taxas relacionadas, usando a fórmula do volume de um cone.

Passo 2

Como h=r, podemos substituir r por h na fórmula do volume do cone:
V = 13,pi,r^2,h
fica
V = 13,pi,h^2cdot h = 13,pi,h^3

Passo 3

Diferenciando ambos os lados em relação ao tempo t, obtemos
dVdt = ddtl(tfrac13pi,h^3r) = 13pi cdot 3,h^2,dhdt = pi,h^2,dhdt

Passo 4

Isolando tfracdhdt, temos
dhdt = tfracdVdtpi,h^2
Substituindo tfracdVdt=1,4 e h=1,5,
dhdt = 1,4pi,(1,5)^2 = 1,42,25,pi approx 0,198m/min

Resposta

A altura do monte aumenta na velocidade de aproximadamente 0,198,m/min quando a altura é 1,5,m.

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