Resolver os seguintes problemas:
Despeja-se areia sobre um monte em forma de cone a taxa constante de
. As forças de atrito na área são tais que a altura do monte é sempre igual ao raio de sua base. Com que velocidade a altura do monte aumenta quando ele tem
de altura?
Despeja-se areia sobre um monte em forma de cone a taxa constante de
Passo 1
O enunciado descreve uma pilha de areia na forma de cone, onde a taxa de variação do volume é constante e igual a
,
. Além disso, há a condição de que a altura do cone
é sempre igual ao raio da base
. Queremos achar a taxa de variação da altura
quando
,m. O conteúdo aqui é taxas relacionadas, usando a fórmula do volume de um cone.
Passo 2
Como
, podemos substituir
por
na fórmula do volume do cone:
fica
Passo 3
Diferenciando ambos os lados em relação ao tempo
, obtemos
Passo 4
Isolando
, temos
Substituindo
e
,
Resposta
A altura do monte aumenta na velocidade de aproximadamente
,m/min quando a altura é
,m.