Verifique que a função satisfaça as hipóteses do Teorema do Valor Médio sobre o intervalo dado. Então encontre todos os números c que satisfazem a conclusão do Teorema do Valor Médio.
f(x)=x^3-3 x^2+2 x+5, [0,2]

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o Teorema do Valor Médio à função
f(x)=x^3-3x^2+2x+5 no intervalo [0,2]. Para isso, devemos verificar que f é contínua em [0,2] e derivável em (0,2), depois calcular a inclinação da reta secante e achar todos os cin(0,2) tais que
f'(c)=f(2)-f(0)2-0,

Passo 2

Como f é polinomial, ela é contínua em todo R (logo em [0,2]) e derivável em todo R (logo em (0,2)). Agora calculamos os valores nos extremos:
f(0)=0^3-3cdot0^2+2cdot0+5=5
f(2)=2^3-3cdot2^2+2cdot2+5=8-12+4+5=5
Portanto, a inclinação da reta secante é
f(2)-f(0)2-0=5-52=0,

Passo 3

Calculamos a derivada de f:
f'(x)=3x^2-6x+2
Pela conclusão do Teorema do Valor Médio, devemos ter
f'(c)=0Longrightarrow 3c^2-6c+2=0
Resolvendo a equação quadrática pelo discriminante:
c=6pmraiz(-6)^2-4cdot3cdot22cdot3 =6pmraiz36-246 =6pm2raiz36 =1pmraiz33

Passo 4

Calculamos aproximadamente
1-raiz33approx0,42, 1+raiz33approx1,58,
e ambos pertencem a (0,2). Logo, esses são todos os c que satisfazem a conclusão do Teorema do Valor Médio.

Resposta

c=1-raiz33 e c=1+raiz33

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