Dados P(1,-4,5), s:(x, y, z)=(-1,0,1)+t(7,-3,5) ; t in R e alpha: x-y-z=0, determine, justificando:
d(P, alpha);

Passo 1

O enunciado dá o ponto P=(1,-4,5) e o plano alpha de equação
x - y - z = 0
Queremos a distância de P a alpha. Para isso usamos a fórmula da distância de um ponto (x0,y0,z0) ao plano Ax+By+Cz+D=0:
d = l|A x0 + B y0 + C z0 + Dr|raizA^2 + B^2 + C^2

Passo 2

Identificamos os coeficientes do plano alpha:
A = 1, B = -1, C = -1, D = 0
O vetor normal ao plano é n=(A,B,C)=(1,-1,-1).

Passo 3

Calculamos o numerador da fórmula, substituindo (x0,y0,z0)=(1,-4,5):
l|A x0 + B y0 + C z0 + Dr| = l|1cdot1 + (-1)cdot(-4) + (-1)cdot5 + 0r| = l|1 + 4 - 5r| = l|0r| = 0

Passo 4

Calculamos o denominador, que é o comprimento de n:
raizA^2 + B^2 + C^2 = raiz1^2 + (-1)^2 + (-1)^2 = raiz1+1+1 = raiz3

Passo 5

Aplicando a fórmula da distância:
d(P,alpha) = 0raiz3 = 0
Isso mostra que P pertence ao plano alpha.

Resposta

d(P,alpha)=0.

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