Determine a posição relativa da reta r e do plano pi nos casos abaixo. Se r e pi se intersectam em um único ponto, determine o ponto de interseção.
r: x-2=y+22=z+3 e pi: x+2 y-5 z-13=0

Passo 1

O enunciado dá a reta rcolon x-2=y+22=z+3 e o plano picolon x+2y-5z-13=0, e pede a posição relativa entre eles. Para isso, vamos parametrizar r e verificar se um ponto genérico da reta pertence a pi.

Passo 2

Definimos o parâmetro t por
t = x-2 = y+22 = z+3
Logo obtemos as equações paramétricas de r:
x = 2 + t, y = 2t - 2, z = t - 3

Passo 3

Substituímos essas expressões na equação de pi:
x + 2y - 5z - 13 = (2 + t) + 2(2t - 2) - 5(t - 3) - 13 = 2 + t + 4t - 4 - 5t + 15 - 13 = 0
O resultado é a identidade 0=0, válida para qualquer t.

Passo 4

Como a condição do plano fica satisfeita para todo valor de t, cada ponto de r pertence a pi. Portanto, a reta r está inteiramente contida no plano pi.

Resposta

A reta r está contida no plano pi.

Exercícios relacionados