Determine a posição relativa da reta
e do plano
nos casos abaixo. Se
e
se intersectam em um único ponto, determine o ponto de interseção.
e
Passo 1
O enunciado pede para determinar a posição relativa entre a reta
e o plano
. Estamos em geometria analítica no espaço, e vamos usar:
– a forma paramétrica de para obter um ponto
e o vetor diretor
;
– o vetor normal de
;
– o produto escalar para ver se
é paralela a
;
– e, se for paralela, testar se um ponto de satisfaz a equação de
para decidir se
está contida em
ou não.
– a forma paramétrica de
– o vetor normal
– o produto escalar
– e, se for paralela, testar se um ponto de
Passo 2
Escrevendo
em forma paramétrica, seja
:
Um ponto qualquer da reta é, por exemplo, para
:
O vetor diretor de
é
Passo 3
O plano
tem equação
cujo vetor normal é
Passo 4
Calculemos o produto escalar
:
Como
, o vetor diretor de
é perpendicular ao normal de
, logo
é paralela a
.
Passo 5
Para ver se
está dentro de
, basta checar se um ponto de
satisfaz a equação de
. Tomando
, temos:
Logo
pertence a
.
Passo 6
Como
é paralela a
e contém um ponto que está em
, concluímos que a reta
está contida no plano
.
Resposta
A reta
está contida no plano
.