Determine a posição relativa da reta r e do plano pi nos casos abaixo. Se r e pi se intersectam em um único ponto, determine o ponto de interseção.
r:ly=4 x+1 z=2 x-1 e pi: 2 x+y-3 z-4=0

Passo 1

O enunciado pede para determinar a posição relativa entre a reta r e o plano pi. Estamos em geometria analítica no espaço, e vamos usar:
– a forma paramétrica de r para obter um ponto P0 e o vetor diretor vec v;
– o vetor normal vec n de pi;
– o produto escalar vec vcdotvec n para ver se r é paralela a pi;
– e, se for paralela, testar se um ponto de r satisfaz a equação de pi para decidir se r está contida em pi ou não.

Passo 2

Escrevendo r em forma paramétrica, seja tinR:
x=t, y=4t+1, z=2t-1
Um ponto qualquer da reta é, por exemplo, para t=0:
P0=(0,,1,,-1)
O vetor diretor de r é
vec v=(1,,4,,2)

Passo 3

O plano pi tem equação
2x+y-3z-4=0,
cujo vetor normal é
vec n=(2,,1,,-3)

Passo 4

Calculemos o produto escalar vec vcdotvec n:
vec vcdotvec n =1cdot2 +4cdot1 +2cdot(-3) =2+4-6 =0
Como vec vcdotvec n=0, o vetor diretor de r é perpendicular ao normal de pi, logo r é paralela a pi.

Passo 5

Para ver se r está dentro de pi, basta checar se um ponto de r satisfaz a equação de pi. Tomando P0=(0,1,-1), temos:
2cdot0 +1 -3cdot(-1) -4 =1+3-4 =0
Logo P0 pertence a pi.

Passo 6

Como r é paralela a pi e contém um ponto que está em pi, concluímos que a reta r está contida no plano pi.

Resposta

A reta r está contida no plano pi.

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