Determine a distância entre a reta r e o plano pi.
r:lx=4+3 h y=-1+h ; h in R e pi: x-y-2 z+4=0 z=h

Passo 1

O enunciado nos dá a reta
r: x=4+3h, y=-1+h, z=h, hinR
e o plano
pi: x - y - 2z + 4 = 0
O conteúdo aqui é a distância entre uma reta paralela a um plano e o próprio plano.

Passo 2

Identificamos o vetor direção de r e o vetor normal de pi.
O vetor direção é
v = (3,,1,,1),
e o vetor normal do plano é
n = (1,,-1,,-2)

Passo 3

Verificamos se a reta é paralela ao plano calculando
vcdotn = 3cdot1 + 1cdot(-1) + 1cdot(-2) = 3 - 1 - 2 = 0
Como vcdotn=0, a reta é paralela ao plano e, portanto, a distância é constante.

Passo 4

A distância entre uma reta paralela e um plano é igual à distância de qualquer ponto da reta até o plano. Tomamos h=0 para achar o ponto
P0 = (4,,-1,,0)
pertencente a r.

Passo 5

Aplicamos a fórmula da distância de um ponto (x0,y0,z0) ao plano Ax+By+Cz+D=0:
d = l|A x0 + B y0 + C z0 + Dr|raizA^2+B^2+C^2
Aqui A=1, B=-1, C=-2, D=4 e (x0,y0,z0)=(4,-1,0). Então
l|1cdot4 + (-1)cdot(-1) + (-2)cdot0 + 4r| = |4 + 1 + 0 + 4| = 9,
e
raiz1^2 + (-1)^2 + (-2)^2 = raiz1 + 1 + 4 = raiz6
Logo,
d = 9raiz6 = 3raiz62

Resposta

A distância entre a reta r e o plano pi é
3raiz62

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