Dados P(1,-4,5), s:(x, y, z)=(-1,0,1)+t(7,-3,5) ; t in R e alpha: x-y-z=0, determine, justificando:
d(P, s);

Passo 1

O enunciado dá o ponto P(1,-4,5) e a reta s na forma paramétrica
(x,y,z)=(-1,0,1)+t,(7,-3,5),, tinR
Queremos a distância de P a s. O conteúdo que usamos é a fórmula da distância ponto–reta em R^3:
d(P,s)=|,(P-A)times vec v||vec v|,
onde A é um ponto qualquer de s e vec v seu vetor diretor.

Passo 2

Escolhemos A=(-1,0,1) como ponto na reta e vec v=(7,-3,5) como vetor diretor. Então
P A=P-A=(1-(-1),,-4-0,,5-1)=(2,-4,4)

Passo 3

Calculamos o produto vetorial
vec w=(P-A)times vec v = (2,-4,4)times(7,-3,5) = (-8,,18,,22)

Passo 4

Agora as normas:
|vec w|=raiz(-8)^2+18^2+22^2=raiz872=2raiz218,
|vec v|=raiz7^2+(-3)^2+5^2=raiz83

Passo 5

Substituindo na fórmula da distância:
d(P,s)=|vec w||vec v| =2raiz218raiz83

Resposta

d(P,s)=2raiz218raiz83approx3,24

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