Dados P(1,-4,5), s:(x, y, z)=(-1,0,1)+t(7,-3,5) ; t in R e alpha: x-y-z=0, determine, justificando:
uma equação da reta m que satisfaz às três condições:
(i) d(P, m)=0
(ii) d(m, s)=0
(iii) d(m, alpha)=d(P, alpha)

Passo 1

Resumindo o que a reta m deve satisfazer:
  1. d(P,m)=0 implica que P pertence a m.
  2. d(m,s)=0 implica que m intersecta a reta s em algum ponto Q.
  3. d(m,alpha)=d(P,alpha). Como P satisfaz alpha, temos
d(P,alpha)=|1-(-4)-5|raiz1^2+(-1)^2+(-1)^2=0,
então d(m,alpha) também deve ser zero, ou seja, m deve estar contida em alpha.
Logo, a interseção de s com o plano alpha dá um ponto Qinalphacap s, e a reta m será a reta que passa por P e Q (essa reta fica em alpha e intersecta s em Q).

Passo 2

Encontrar Q=scapalpha. A reta s é
(x,y,z)=(-1,0,1)+t,(7,-3,5)
Para que (x,y,z) esteja em alpha: x-y-z=0, impondo
(-1+7t);-;(-3t);-;(1+5t)=0
temos
-1+7t+3t-1-5t=0 Longrightarrow 5t-2=0 Longrightarrow t=25
Logo
Q=l(-1+7cdottfrac25,;-3cdottfrac25,;1+5cdottfrac25r) =l(tfrac95,,-tfrac65,,3r)

Passo 3

O vetor direção de m é
PQ =Q-P =l(tfrac95-1,,-tfrac65+4,;3-5r) =l(tfrac45,;tfrac145,;-2r)
Multiplicando por 5 e simplificando por 2, obtemos o vetor
v=(2,7,-5)

Passo 4

Assim, uma forma paramétrica para m é
(x,y,z)=(1,-4,5)+lambda,(2,7,-5), lambdainR
Verificações rápidas:
  • Quando lambda=0 temos Pin m.
  • Para lambda=tfrac25 recupera-se Q, de modo que m intersecta s.
  • O vetor normal de alpha é n=(1,-1,-1) e
ncdotv =1cdot2+(-1)cdot7+(-1)cdot(-5) =2-7+5=0,
logo v é paralelo ao plano alpha e, como Pinalpha, toda msubsetalpha. Isso garante d(m,alpha)=0=d(P,alpha).

Resposta

boxed m:;(x,y,z)=(1,-4,5)+lambda,(2,7,-5),;lambdainR

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