Dados e , determine, justificando:
uma equação da reta que satisfaz às três condições:
(i)
(ii)
(iii)
Passo 1
Resumindo o que a reta deve satisfazer:
implica que pertence a .
implica que intersecta a reta em algum ponto .
. Como satisfaz , temos
então também deve ser zero, ou seja, deve estar contida em .
Logo, a interseção de com o plano dá um ponto , e a reta será a reta que passa por e (essa reta fica em e intersecta em ).
Passo 2
Encontrar . A reta é
Para que esteja em , impondo
temos
Logo
Passo 3
O vetor direção de é
Multiplicando por 5 e simplificando por 2, obtemos o vetor
v=(2,7,-5)
Passo 4
Assim, uma forma paramétrica para m é
(x,y,z)=(1,-4,5)+lambda,(2,7,-5), lambdainR
Verificações rápidas:
Quando lambda=0 temos Pin m.
Para lambda=tfrac25 recupera-se Q, de modo que m intersecta s.
O vetor normal de alpha é n=(1,-1,-1) e
ncdotv =1cdot2+(-1)cdot7+(-1)cdot(-5) =2-7+5=0,
logo v é paralelo ao plano alpha e, como Pinalpha, toda msubsetalpha. Isso garante d(m,alpha)=0=d(P,alpha).