Dados P(1,-4,5), s:(x, y, z)=(-1,0,1)+t(7,-3,5) ; t in R e alpha: x-y+z-10=0, determine, justificando:
d(P, s);

Passo 1

O enunciado dá o ponto
P(1,-4,5)
e a reta
s: (x,y,z)=(-1,0,1)+t,(7,-3,5), tinR,
e pede a distância de P a s.
Conteúdo: distância ponto-reta em R^3, usando a fórmula
d(P,s)=|APtimes v|| v|,
onde A é um ponto qualquer de s e v é o vetor diretor de s.

Passo 2

Escolhemos o ponto A correspondente a t=0 em s, ou seja
A(-1,0,1).
O vetor de A a P é
AP=P-A=(1-(-1),,-4-0,,5-1)=(2,,-4,,4)
O vetor diretor de s é
v=(7,-3,5).

Passo 3

Calculamos o produto vetorial
APtimes v = i & j & k 2 & -4 & 4 7 & -3 & 5 =l(-4cdot5-4cdot(-3),,-l(2cdot5-4cdot7r),,2cdot(-3)-(-4)cdot7r)
=(-20+12,,-(10-28),,-6+28)=(-8,18,22)

Passo 4

A norma do vetor cruz é
|APtimes v| =raiz(-8)^2+18^2+22^2 =raiz64+324+484 =raiz872 =2raiz218
A norma de v é
| v|=raiz7^2+(-3)^2+5^2 =raiz49+9+25 =raiz83

Passo 5

Pela fórmula de distância ponto-reta,
d(P,s) =|APtimes v|| v| =2raiz218raiz83

Resposta

d(P,s)=2raiz218raiz83

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