Determine o valor de n para que seja de 30^circ o ângulo entre as retas
r: x-24=y5=z3 e s:lx=t y=n t+5 ; z=2 t-2 t in R

Passo 1

O enunciado pede o valor de
e
seja usando vetores diretores e produto escalar.

Passo 2

Identificamos os vetores diretores de cada reta:
- Para r, seja u o parâmetro, então
x=4u+2, y=5u, z=3u
logo
vr=(4,5,3)
- Para s, o parâmetro é t, com
x=t, y=nt+5, z=2t-2
portanto
vs=(1,n,2)

Passo 3

Recordando que o cosseno do ângulo entre dois vetores a e b é dado por
costheta=|acdotb||a|;|b|,
aqui queremos theta=30^circ, então cos30^circ=tfracraiz32. Logo
l|vrcdotvsr||vr|;|vs|=raiz32

Passo 4

Calculamos produto escalar e normas:
vrcdotvs=4cdot1+5cdot n+3cdot2=5n+10,
|vr|=raiz4^2+5^2+3^2=raiz50=5raiz2, |vs|=raiz1^2+n^2+2^2=raizn^2+5
Substituindo em costheta=tfracraiz32
|5n+10|5raiz2,raizn^2+5=raiz32 Longrightarrow |n+2|raiz2,raizn^2+5=raiz32

Passo 5

Isolando e elevando ao quadrado:
2|n+2|=raiz3,raiz2,raizn^2+5=raiz6,raizn^2+5 Longrightarrow 4(n+2)^2=6(n^2+5)
Isso leva a
4(n^2+4n+4)=6n^2+30 Longrightarrow 4n^2+16n+16=6n^2+30 Longrightarrow n^2-8n+7=0
Resolvendo,
n^2-8n+7=0 Longrightarrow n=1ou n=7

Passo 6

Ambas as soluções satisfazem a equação com valor absoluto, portanto os valores buscados são
boxedn=1ou n=7

Resposta

n=1 ou n=7.

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